第11章 第1节 概率留醉-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!１１"　犢犈犢犐犌犃犐犔犞犜犐犖犌犑犐犃犖犌犛犎犈犖犌犡犐犃犗犣犎犗犝犜犗犖犌犑犐犑犐犢犝犛犎犈犖犌 \]^_`ab(cdeQfgh !１"#ef1g !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 随机事件及其概率 Ⅰ 互斥事件与对立事件 Ⅱ 相互独立事件 Ⅲ ２０２４年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图 表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中 重点考查频率分布直方图及其应用（与概率相结合）， 离散性随机变量的分布列与均值，二项分布及其应用， 统计案例及其应用． １．随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为 随机试验，简称试验，常用字母犈表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （１）试验可以在相同条件下重复进行． （２）试验的所有可能结果是明确可知的，并 且不止一个． （３）每次试验总是恰好出现这些可能结果中 的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． ２．样本空间 我们把随机试验犈的每个可能的基本结果 称为样本点，全体样本点的集合称为试验犈的 样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω 表示样本点，如果一个随机试验有狀个可能结果 ω１，ω２， …，ω狀， 则 称 样 本 空 间 Ω ＝ ω１，ω２，…，ω ｝｛ 狀 为有限样本空间． ３．随机事件、确定事件 （１）一般地，随机试验中的每个随机事件都 可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了 叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机 事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件 称为基本事件．当且仅当犃中某个样本点出现 时，称为事件犃发生． （２）Ω作为自身的子集，包含了所有的样本 点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω 总会发生，我们称Ω为必然事件． （３）空集不包含任何样本点，在每次试验 中都不会发生，我们称为为不可能事件． （４）确定事件：必然事件和不可能事件统称 为相对随机事件的确定事件． ４．事件的关系与运算 （１）包含关系：一般地，对于事件犃和事件 犅，如果事件犃发生，则事件犅一定发生，这时 称事件犅包含事件犃（或者称事件犃包含于事件 犅），记作犅犃或者犃犅．与两个集合的包含 关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能 事件． （２）相等关系：一般地，若犅犃且犃犅， 称事件犃与事件犅相等．与两个集合相等类比             ， ·５５２· 学习数学·领悟数学· !" 可用下图表示： （３）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅 当事件犃发生或事件犅 发生，则称此事件为事 件犃与事件犅的并事件（或和事件），记作犃∪ 犅（或犃＋犅）．与两个集合的并集类比，可用下 图表示： （４）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅 当事件犃发生且事件犅 发生，则称此事件为事 件犃与事件犅的交事件（或积事件），记作犃∩ 犅（或犃犅）．与两个集合的交集类比，可用下图 表示： ５．互斥事件与对立事件 （１）互斥事件：在一次试验中，事件犃和事 件犅不能同时发生，即犃∩犅＝，则称事件犃 与事件犅互 斥，可用下图表示： 如果犃１，犃２，…，犃狀中任何两个都不可能 同时发生，那么就说事件犃１，犃２，…，犃狀彼此 互斥． （２）对立事件：若事件犃和事件犅在任何一 次实验中有且只有一个发生，即犃∪犅＝Ω， 犃∩犅＝，则称事件犃 和事件犅 互为对立事 件，事件犃的对立事件记为犃 － ． （３）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件， 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还 要求二者之一必须有一个发生； ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥 事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要 条件，而“对立”则是“互斥”的充分条件． ６．概率的基本性质 （１）对于任意事件犃都有：０≤犘（犃）≤１． （２）必然事件的概率为１，即犘（Ω）＝１；不 可能事件概率为０，即犘（）＝０． （３）概率的加法公式：若事件犃与事件犅互 斥，则犘（犃∪犅）＝犘（犃）＋犘（犅）． 推广：一般地，若事件犃１，犃２，…，犃狀彼 此互斥，则事件发生（即犃１，犃２，…，犃狀 中有 一个发生）的概率等于这狀个事件分别发生的概 率之和，即：犘（犃１＋犃２＋…＋犃狀）＝犘（犃１）＋ 犘（犃２）＋…＋犘（犃狀）． （４）对立事件的概率：若事件犃与事件犅互 为对立事件，则犘（犃）＝１－犘（犅），犘（犅）＝１－ 犘（犃），且犘（犃∪犅）＝犘（犃）＋犘（犅）＝１． （５）概率的单调性：若犃犅，则犘（犃） ≤犘（犅）． （６）若犃，犅是一次随机实验中的两个事件， 则犘（犃∪犅）＝犘（犃）＋犘（犅）－犘（犃∩犅）． ７．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法 公式 （１）相互独立事件：事件犃（或犅）是否发生， 对事件犅（或犃）发生