第10章 第3节 二项通关-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !３"#bcd^ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 Ⅲ 二项式展开式中的最值问题 Ⅲ 二项式展开式中系数和有关问题 Ⅲ ２０２４年在选择题和填空题中仍会重 点考查二项式展开式的特定项、特 定项的系数问题． １．二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （１）二项式定理 定义：一般地，对于任意正整数狀，都有： （犪＋犫）狀＝犆０狀犪狀＋犆１狀犪狀－１犫＋…＋犆狉狀犪狀－狉犫狉＋…＋犆狀狀犫狀 （狀∈犖），这个公式所表示的定理叫做二项式定 理，等号右边的多项式叫做（犪＋犫）狀 的二项展开 式．式中的犆狉狀犪 狀－狉犫狉 做二项展开式的通项，用 犜狉＋１表示，即通项为展开式的第狉＋１项：犜狉＋１ ＝犆狉狀犪 狀－狉犫狉，其中的系数犆狉狀（狉＝０，１，２，…， 狀）叫做二项式系数． （２）二项式（犪＋犫）狀的展开式的特点 ①项数：共有狀＋１项，比二项式的次数 大１； ②二项式系数：第狉＋１项的二项式系数为 犆狉狀，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 狀．字母犪降幂排列，次数由狀到０；字母犫升幂排 列，次数从０到狀，每一项中，犪，犫次数和均为狀； ④项的系数：二项式系数依次是犆０狀，犆１狀，犆２狀， …，犆狉狀，…，犆狀狀，项的系数是犪与犫的系数（包括 二项式系数）． （３）两个常用的二项展开式 ①（犪－犫）狀＝犆０狀犪狀－犆１狀犪狀－１犫＋…＋（－１）狉· 犆狉狀犪 １－狉犫狉＋…＋（－１）狀·犆狀狀犫狀（狀∈犖）； ②（１＋狓）狀＝１＋犆１狀狓＋犆２狀狓２＋…＋犆狉狀狓狉＋… ＋狓狀． （４）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：犜狉＋１＝犆狉狀犪狀－狉犫狉（狉＝０， １，２，…，狀）． 公式特点：①它表示二项展开式的第狉＋１ 项，该项的二项式系数是犆狉狀；②字母犫的次数和 组合数的上标相同；③犪与犫的次数之和为狀． 注意： ①二项式（犪＋犫）狀的二项展开式的第狉＋１项 犆狉狀犪 狀－狉犫狉和（犫＋犪）狀的二项展开式的第狉＋１项犆 狉 狀犫 狀－狉犪狉是有区别的，应用二项式定理时，其中的 犪和犫是不能随便交换位置的； ②通项是针对在（犪＋犫）狀这个标准形式下而言 的，如（犪－犫）狀的二项展开式的通项是犜狉＋１＝（－ １）狉犆狉狀犪狀－狉犫狉（只需把－犫看成犫代入二项式定理）． ２．二项式展开式中的最值问题 （１）二项式系数的性质 ①每一行两端都是１，即犆０狀＝犆狀狀；其余每个数 都等于它“肩上”两个数的和，即犆犿狀＋１＝犆犿－１狀 ＋犆犿狀； ②对称性：每一行中，与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等，即犆犿狀＝犆狀－犿狀 ； ③二项式系数和：令犪＝犫＝１，则二项式系 数的和为犆０狀＋犆 １ 狀＋犆 ２ 狀＋…＋犆狉狀＋…＋犆狀狀＝２狀， 变形式犆１狀＋犆 ２ 狀＋…＋犆狉狀＋…＋犆狀狀＝２狀－１； ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项 式系数和：在二项式定理中，令犪＝１，犫＝－１， 则犆０狀－犆 １ 狀＋犆 ２ 狀－犆 ３ 狀＋…＋（－１）狀犆狀狀＝（１－１）狀＝０， 从而得到犆０狀＋犆 ２ 狀＋犆 ４ 狀＋…＋犆２狉狀＋…＝犆１狀＋犆３狀＋ …＋犆２狉＋１狀 ＋…； ⑤最大值：如果二项式的幂指数狀是偶数， 则中间一项犜狀 ２＋１ 的二项式系数犆 狀 ２ 狀 最大；               如果 ·０５２· ! " C! 01 DEF GH 22 *IJ 二项式的幂指数狀是奇数，则中间两项犜狀＋１ ２ ， 犜狀＋１ ２ ＋１ 的二项式系数犆 狀－１ ２ 狀 ，犆 狀＋１ ２ 狀 相等且最大． （２）系数的最大项 求（犪＋犫狓）狀 展开式中最大的项，一般采用 待定系数法．设展开式中各项系数分别为犃１， 犃２，…，犃狀＋１，设第狉＋１项系数最大，应有 犃狉＋１≥犃狉 犃狉＋１≥犃狉 烅 烄 烆 ＋２ ，从而解出狉来． ３．二项式展开式中系数和有关问题 （１）含变量的恒等式：是指无论变量在已知 范围内取何值，均可使等式成立，所以通常可对 变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质． （２）二项式展开式与原二项式呈恒等关系， 所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二 项式系数）的等式． （３）常用赋值举例 Ａ．设（犪＋犫）狀＝犆０狀犪狀＋犆１狀犪狀－１犫＋犆２狀犪狀－２犫２ ＋…＋犆狉狀犪狀－狉犫狉＋…＋犆狀狀犫狀，二项式定理是一个 恒等式，即对犪，犫的一切值都成立，我们可以 根据具体问题的需要灵活选取犪，犫的值． ①令犪＝犫＝１，可得：２狀＝犆０狀＋犆１狀＋…＋犆狀狀； ②令犪＝１，犫＝１，可得：０＝犆０狀－犆１狀＋犆２狀－犆３狀… ＋（－１）狀犆狀狀，即：犆０狀＋犆２狀＋…＋犆狀狀＝犆１狀