第9章 第8节 齐次之陟-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

第⑨章不求时时意圆满圆雏曲线路平坦 第8节齐次之陟 考点频率 考点 出现频率 2024年预测 齐次式方法在解析 作为课后提高补充知识，这个方法非常重要，我们在 几何中的应用 解题时（大题为主），很多时候可以利用齐次式解法进 行解题，降低运算量，提高解题效率 基碑知识诊断 回顾教材 务实基础 知踢梳围 当x≠0时，两边同时除以x,整理得： ○平移坐标系构造齐次式 已知点P是平面内一个定点，椭圆C等十： 2mu5+2m-2mn）·义+「m十1)上+ b 若=1。>b>0)上有两动点A,E (1)若直线k十km=入，则直线AB过 因为点A',B的坐标满足这个方程，所以 定点 (2)若直线k·km=A,则直线AB过： k和kg是关于兰的方程的两根。 定点 (1)若k十km=λ，由平移性质知十kr=入， 证明：将椭圆C按向量Pò 2md +2ron 2ms +2vm 2mm （一·一%)方向平移，得椭圆C:十》2 故太开十= +w+1D y 入，整理可得到m和n的关系，从而可知直线 ++-1=0 AB'过定点，由平移性质可得直线AB过定点. (2)若k叭·km=入，由平移性质知心·r= 平面内的定点P(,)和椭圆C上的动点 （m+1)+m-m A,、B分别对应椭圆C上的定点O和动点A,!入，所以·k= a =入 B,设直线A'B'的方程为mx十y=1,代人展开 W无+nw+1)-元 b 式得+若+（停+器）·(m+w)+ 整理可得到m和n的关系，从而可知直线A'B 过定点，由平移性质可得直线AB过定点 (怎+普-1小·(m十)：=0（构造齐次式. 考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 一 平移构造齐次式 P(-1.》,P(1.号)中怡有三点在椭圆C上 8例1(2017·全国1卷)设椭圆C:养+片 (1)求C的方程： =1(a>b>0),四点P(1,1),P2(0,1), (2)设直线1不经过P:点且与C相交于A, B两点.若直线P:A与直线P:B的斜率的和为 ·235· 丫学习数学，领悟数学，胆用数学 一1.证明：（过定点 8训练1（临沂期末）已知P(0,1)为椭圆 +带=10>6>0)上的-点，焦距长为2 x PA,PB为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为 a,A且a+B-4(0<a<晋，0<)月 (1)求椭圆的标准方程： (2)探究直线AB是否过定点.若过定点， 求出定点坐标：若不过定点，请说明理由。 8例2(2020·新高考)已知椭圆C:云 人3 =1(a>>0)的离心率为竖， 且过点A(2,1). (1)求C的方程： (2)点M,N在C上，且AM⊥AN,AD1 MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得 |DQ为定值. 8调练2(2018·全国1卷)设椭圆C:号十 y=1的右焦点为F,过F的直线L与C交于A, B两点，点M的坐标为(2,0). (1)当1与x轴垂直时，求直线AM的方程： (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA ∠OMB. 8例3(2020·全国1卷)已知A,B分别为 椭圆E:导+少=1(a>1)的左、右顶点，G为 E的上顶点，AG.G=&.P为直线x=6上的 动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另 一交点为D. (1)求E的方程： 昌训练3（全国模拟）已知O为坐标原点，椭 (2)证明：直线CD过定点： 网后+芳-1o>60)的离心率为号.椭圆上 两点M,N(非椭圆顶点)满足∠MON=90°，且 1 3 OMON2 (1)求椭圆的标准方程： (2)不平行于y轴的直线与椭圆交于P,Q 两点，F为椭圆的右焦点，当kr十k=0时， ·236· 第⑨章不求时时意圆满圆雏曲线路平坦 直线PQ是否过定点？若过，求出此定点；若不 过，请说明理由。 8例2(2017·全国1卷)设椭圆C:善+芳 =1(a>b>0),四点P(1.1),P(0,1), B(-1,）,P(1,)中拾有三点在椭圆C上 者第二不平移构造齐次式 (1)求C的方程： 下面例题答案中的法一和法二均为构造齐次 (2)设直线1不经过P:点且与C相交于A, 式，区别在于法一为平移整个图形构造，法二为：B两点.若直线P:A与直线P,B的斜率的和为 先分析最终的斜率表示形式，再设线构造，通过， 一1，证明：1过定点 分析最终表示的斜率形式，如例题的最终斜率形 式为心+k0=当十1+业+！，我们可以把y十 4444444 1看成一个整体，把椭圆方程变形为关于y十1 的一个齐次式x2+2(y+1)2-4(y+1)=0,其 次也要把直线变成关于y十1的一个形式，即x 十n(y十1)=1，然后构造齐次式即可.原理上是 和平移构造一样的，部分读者如果介意平移的操 8训练(2022·新高考I卷)已知A(2,1)在 作，则可以采用法二直接齐次化操作处理。 8例1（长称中学）如图，椭圆E:三+芳