第9章 第6节 点差之赐-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !６"#;)IV !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 对点差法相关内容 进行考查 Ⅲ 作为课后提高补充知识，这部分内容也非常重要，我 们在解小题时（大题不可直接用），很多时候可以利用 点差法进行快速破解，提高解题效率． １．点差法 直径问题：若犃犅过原点，则犃犅为椭圆直 径，犘为椭圆上异于犃犅 任意一点，犽犘犃·犽犘犅＝ － 犫２ 犪２ ＝犲２－１（椭圆）；犽犘犃·犽犘犅＝ 犫２ 犪２ ＝犲２－１（双曲 线），焦点在狓轴上时． 中点弦问题：若椭圆（双曲线）与直线犾交于 犃犅两点，犕为犃犅中点，且犽犃犅与犽犗犕斜率存在 时，犽犃犅·犽犗犕＝－ 犫２ 犪２ （椭圆）；犽犃犅·犽犗犕＝ 犫２ 犪２ （双 曲线），焦点在狓轴上时． 下述选择焦点在狓轴上的椭圆来证明，其他 情况形式类似，不再赘述． 直径问题的证明：设犘（狓０，狔０），犃（狓１， 狔１），因为犃犅过原点，由对称性可知，点犅（－ 狓１，－狔１），所以犽犘犃·犽犘犅＝ 狔０－狔１ 狓０－狓１ ·狔０＋狔１ 狓０＋狓１ ＝ 狔 ２ ０－狔 ２ １ 狓２０－狓 ２ １ ．又因为点犘（狓０，狔０），犃（狓１，狔１）在椭 圆上，所以有 狓２０ 犪２ ＋ 狔 ２ ０ 犫２ ＝１（１） 狓２１ 犪２ ＋ 狔 ２ １ 犫２ ＝１（２ 烅 烄 烆 ） ．两式相减得 狔 ２ ０－狔 ２ １ 狓２０－狓 ２ １ ＝－ 犫２ 犪２ ，所以犽犘犃·犽犘犅＝－ 犫２ 犪２ ． 中 点 弦 问 题 的 证 明：设 犃 狓１，狔（ ）１ ， 犅狓２，狔（ ）２ ，犕 狓０，狔（ ）０ 则椭圆 狓２１ 犪２ ＋ 狔 ２ １ 犫２ ＝１（１） 狓２２ 犪２ ＋ 狔 ２ ２ 犫２ ＝１（２ 烅 烄 烆 ） ， 两式相减得狔 ２ ２－狔 ２ １ 狓２２－狓 ２ １ ＝－ 犫２ 犪２ ，犽犃犅·犽犗犕＝ 狔２－狔１ 狓２－狓１ · 狔０ 狓０ ＝ 狔２－狔１ 狓２－狓１ · 狔１＋狔２ ２ 狓１＋狓２ ２ ＝ 狔 ２ ２－狔 ２ １ 狓２２－狓 ２ １ ＝－ 犫２ 犪２ ＝犲２－１． 注意： ①焦点在狓轴上的时候，椭圆和双曲线可以 统一来记忆斜率乘积为犲２－１； ②焦点在狔轴上的时候，有所变化，椭圆的 两组直线斜率乘积为－ 犪２ 犫２ ，双曲线为犪 ２ 犫２ ，统一来 记忆的话斜率乘积为 １ 犲２－１ ． ２．解答题中弦的中垂线问题与直径问题 中垂线问题：若犃，犅在椭圆上，直线犃犅 不垂直于狓轴，并且犃，犅关于直线犕犖：狔＝ 犽狓＋犿或者狓＝狋狔＋狀对称，可以知道线段犃犅 被直线垂直平分，设犖 为犕犖 与坐标轴交点， 设弦犃犅的中点为犕（狓０，狔０），则能得出以下结 论：犿＝－ 狔０犮 ２ 犫２ （椭圆），犿＝ 狔０犮 ２ 犫２ （双曲线）；狀＝ 狓０犮 ２ 犪２ （椭圆），狀＝ 狓０犮 ２ 犪２ （双曲线）． 证明：（椭圆）由前面点差法的结论可知犽犃犅 ·犽犗犕＝犽犃犅· 狔０ 狓０ ＝－ 犫２ 犪２ ， 狔０＝犽狓０＋犿 犽犃犅＝－ １ 犽 ＝－ 狓０犫 ２ 狔０犪 烅 烄 烆 ２  狔０＝ 狔０犪 ２ 狓０犫 ２狓０＋犿＝ 狔０犪 ２ 犫２ ＋犿犿＝ 犫２狔０ 犫２ － 狔０犪 ２ 犫２ ＝ － 狔０犮 ２ 犫２                ． ·２２２· !?" &;--<=> =?./@AB 当狔＝０时，直线在狓轴上的截距狀＝－ 犿 犽 ＝ 犮２狓０ 犪２ ． （双曲线）由前面点差法的结论可知犽犃犅·犽犗犕 ＝犽犃犅 · 狔０ 狓０ ＝ 犫２ 犪２ ， 狔０＝犽狓０＋犿 犽犃犅＝－ １ 犽 ＝ 狓０犫 ２ 狔０犪 烅 烄 烆 ２ 狔０ ＝ － 狔０犪 ２ 狓０犫 ２狓０＋犿犿＝ 犫２狔０ 犫２ ＋ 狔０犪 ２ 犫２ ＝ 狔０犮 ２ 犫２ ． 当狔＝０时，直线在狓轴上的截距狀＝－ 犿 犽 ＝ 犮２狓０ 犪２ ．此结论无需记忆，熟悉此类问题解题思 路即可，上述证明采用正设狔＝犽狓＋犿证明，反 设证明思路一样，解答题看到弦中点问题以及直 径问题想点差法，不是中点，其他等分点，可以 采用后面所讲的定比点差法     ． !"‘9L®›‘‹pq$iopq 例１ （２０２２·全国甲卷）椭圆犆： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝ １（犪＞犫＞０）的左顶点为犃，点犘，犙均在犆上， 且关于狔轴对称．若直线犃犘，犃犙的斜率之积 为１ ４ ，则犆的离心率为 （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　 Ａ． 槡３ ２ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ３ 例２ （赤峰模拟）设双曲线犆： 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１ （犪＞０，犫＞０），犕，犖是双曲线犆上关于坐标原 点对称的两点，犘为双曲线犆 上的一动点，若 犽犘犕·犽犘犖＝４，则双曲