第9章 第4节 抛物之势-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" &;--<=> =?./@AB !４"#PQIR !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 抛物线的定义 Ⅲ 抛物线的性质 Ⅲ 命题角度： （１）抛物线的定义及应用 （２）抛物线的标准方程与几何性质 １．抛物线定义 平面内与一个定点犉和一条定直线犾（犾不经 过点犉）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 犉叫做抛物线的焦点，定直线犾叫做抛物线的准线． ２．抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准 方程 狔 ２＝２狆狓 （狆＞０） 狔 ２＝－２狆狓 （狆＞０） 狓２＝２狆狔 （狆＞０） 狓２＝－２狆狔 （狆＞０） 顶点 犗（０，０） 范围 狓≥０， 狔∈犚 狓≤０， 狔∈犚 狔≥０， 狓∈犚 狔≤０， 狓∈犚 对称轴 狓轴 狔轴 焦点 犉 狆 ２ ，（ ）０ 犉 －狆 ２ ，（ ）０ 犉０，狆（ ） ２ 犉０，－狆（ ） ２ 离心率 犲＝１ 准线 方程 狓＝－ 狆 ２ 狓＝ 狆 ２ 狔＝－ 狆 ２ 狔＝ 狆 ２ 焦半径 犃犉＝狓１＋ 狆 ２ 犃犉＝－狓１＋ 狆 ２ 犃犉＝狔１＋ 狆 ２ 犃犉＝－狔１＋ 狆 ２ 　　注意：抛物线标准方程中参数狆的几何意义 是：抛物线的焦点到准线的距离（简称焦准距）， 所以狆的值永远大于０．另外，焦半径使用定义 即可证明． ３．抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物 线的通径．对于抛物线狔 ２＝２狆狓（狆＞０），由 犃 狆 ２ ，（ ）狆 ，犅 狆２，－（ ）狆 ，可得 犃犅 ＝２狆，抛 物线的通径长为２狆． ４．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系 狔０＝ 狆 犽 证明：点差法：设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２） 为抛物线狔 ２＝２狆狓（狆＞０）上两点，则狔２１＝２狆狓１， 狔 ２ ２＝２狆狓２作差得 狔２－狔１ 狓２－狓１ ＝ ２狆 狔１＋狔２ ＝ 狆 狔０ ，其中犕 （狓０，狔０）是犃犅中点．或者说，若设犃犅的斜率 为犽，则犃犅中点纵坐标狔０＝ 狆 犽 ． （焦点在狔轴上的抛物线，同理．） ５．焦点弦的常考性质 已知犃犅 是过抛物线狔 ２＝ ２狆狓（狆＞０）焦点犉 的弦，犕 是 犃犅 的中点，犾是抛物线的准线， 犕犖⊥犾，犖 为垂足．令犃（狓１， 狔１），犅（狓２，狔２）． （１）以犃犅为直径的圆必与准线犾相切，以 犃犉（或犅犉）为直径的圆与狔轴相切； （２）犉犖⊥犃犅，犉犆⊥犉犇； （３）狓１狓２＝ 狆 ２ ４ ；狔１狔２＝－狆２； （４）设犅犇⊥犾，犇为垂足，则犃，犗，犇三 点在一条直线上． 证明：（１）过犃 作犃犆 垂直犾，犆为垂足， 犉犃 ＝ 犃犆 ， 犉犅 ＝ 犅犇 ，在梯形犃犅犆犇 中， 犕犖 ＝ １ ２ （犃犆 ＋ 犅犇 ）＝ １ ２ （犃犉 ＋ 犅犉 ）＝ １ ２ 犃犅 ，∠犃犖犅＝９０°，故以犃犅为 直径的圆与准线犾相切                ． ·３１２· 学习数学·领悟数学· !" 设 犈 是 犃犉 的 中 点，则 犈 的 坐 标 为 狆 ２ ＋狓１ ２ ，狔１ 烄 烆 烌 烎２ ，则点犈 到狔 轴的距离为犱＝ 狆 ２ ＋狓１ ２ ＝ １ ２ 犃犉 ，故以犃犉为直径的圆与狔轴 相切，同理以犅犉为直径的圆与狔轴相切． （２）在△犃犆犖 与△犃犉犖 中 犃犖 ＝ 犃犖 ； 在Ｒｔ△犃犅犖中，∠犖犃犕＝∠犃犖犕，∠犆犃犖＝ ∠犃犖犕，△犃犆犖 ≌ △犃犉犖， 则 ∠犖犉犃 ＝ ∠犖犆犃＝９０°．则犉犖⊥犃犅．因为 → 犇犉＝（狆， －狔２）， → 犆犉＝（狆，－狔１），所以 → 犇犉· → 犆犉＝狆 ２＋ 狔１狔２＝０，所以犉犆⊥犉犇． （３）设直线犃犅的方程为狓＝狋狔＋ 狆 ２ 与抛物线 狔 ２＝２狆狓联立得狔 ２＝２狆狋狔＋ 狆（ ）２ ，即狔２－２狆狋狔 －狆 ２＝０，故狔１狔２＝－狆２，狓１狓２＝ 狔 ２ １ ２狆 狔 ２ ２ ２狆 ＝ 狆 ２ ４ ． （４）犽犗犃＝ 狔１ 狓１ ＝ 狔１ 狔 ２ １ ２狆 ＝ ２狆 狔１ ，犽犗犇＝ 狔２ － 狆 ２ ＝－ ２狔２ 狆 ＝－ ２狆狔２ 狆 ２ ＝ ２狆狔２ 狔１狔２ ＝ ２狆 狔１ ，则犃，犗，犇三点共线， 同理犅，犗，犆三点共线．上述证明方式并非唯 一，多种方法均可证明，不再赘述． ６．抛物线的切线问题 点犕（狓０，狔０）在抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上， 过点犕作抛物线的切线方程为狔０狔＝狆（狓＋狓０）． 点犕（狓０，狔０）在抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）外，过点 犕对应切点弦方程为狔０狔＝狆（狓＋狓０）． 点犕（狓０，狔０）在抛物线狓２＝２狆狔（狆＞０）内， 过点犕作抛物线的弦犃犅，分别过犃，犅作抛物 线的切线，则两条切线的交点犘的轨迹方程为 直线狓０狓＝狆（狔＋狔０）         ． !"ˆª«„?%—˜ 例１ （重庆模