第9章 第3节 双曲之姿-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !３"#MNIO !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 双曲线定义的基础 Ⅲ 双曲线的简单几何性质 Ⅲ 离心率问题 Ⅲ 命题角度： （１）双曲线的定义及应用 （２）双曲线的标准方程 （３）双曲线的几何性质 核心素养：直观想象、数学运算 １．双曲线定义 在平面内，到两个定点犉１，犉２的距离之差 的绝对值等于常数２犪（犪大于０且２犪＜ 犉１犉２ ） 的动点犘的轨迹叫做双曲线．这两个定点犉１， 犉２叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线 的焦距． 标准 方程 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１ （犪＞０，犫＞０） 狔 ２ 犪２ － 狓２ 犫２ ＝１ （犪＞０，犫＞０） 图形 性 质 焦点 犉１（－犮，０）， 犉２（犮，０） 犉１（０，－犮）， 犉２（０，犮） 焦距 犉１犉２ ＝ ２犮（犮＝ 犪２＋犫槡 ２） 犉１犉２ ＝ ２犮（犮＝ 犪２＋犫槡 ２） 范围 ｛狓狓≤－犪或 狓≥犪｝，狔∈犚 ｛狔狔≤－犪或 狔≥犪｝，狓∈犚 对称性 关于狓轴、狔轴和原点对称 顶点 （±犪，０） （０，±犪） 轴 实轴长＝２犪，虚轴长＝２犫 离心率 犲＝ 犮 犪 （犲＞１）　注：离心率越大，双曲线 开口越大 渐近线 方程 狔 ＝± 犫 犪 狓 狔＝± 犪 犫 狓 ２．双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线 被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径 长为２犫 ２ 犪 ． ３．点与双曲线的位置关系 对于双曲线狓 ２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０），点犘（狓０， 狔０）在双曲线内部，等价于 狓２０ 犪２ － 狔 ２ ０ 犫２ ＞１． 点犘（狓０，狔０）在双曲线外部，等价于 狓２０ 犪２ － 狔 ２ ０ 犫２ ＜１，结合线性规划的知识点来分析． ４．双曲线常考性质 性质一　双曲线的焦点到两条渐近线的距离 为常数犫；顶点到两条渐近线的距离为常数 犪犫 犮 ． （使用点到直线的距离公式即可证明） 性质二　双曲线上的任意点犘到双曲线犆 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数犪 ２犫２ 犮２ ． 证明：设犘（狓１，狔１）是双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪 ＞犫＞０）上任意一点，该双曲线的两条渐近线方 程分别是犪狔－犫狓＝０和犪狔＋犫狓＝０，点犘（狓１， 狔１）到两条渐近线的距离分别是 犫狓１－犪狔１ 犪２＋犫槡 ２ 和 犫狓１＋犪狔１ 犪２＋犫槡 ２ ， 则 犫狓１－犪狔１ 犪２＋犫槡 ２ · 犫狓１＋犪狔１ 犪２＋犫槡               ２ ·８０２· !?" &;--<=> =?./@AB ＝ 犪２犫２ 犮２ ． ５．双曲线的焦点三角形 双曲线焦点三角形面积为 犫 ２ ｔａｎ θ ２ （可以这样理 解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）． ６．双曲线的切线 点犕（狓０，狔０）在双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞０，犫 ＞０）上，过点犕 作双曲线的切线方程为 狓０狓 犪２ － 狔０狔 犫２ ＝１．若点犕（狓０，狔０）在双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪 ＞０，犫＞０）外，则点犕对应切点弦方程为 狓０狓 犪２ － 狔０狔 犫２ ＝１     ． !"¨©„?%:–—˜ 在处理双曲线问题的时候，也要优先思考定 义，俗称定义优先原则，而非上来就直接直线和 双曲线联立．所以在解题的时候如果看到点在双 曲线上，要时刻思考双曲线定义． 例１ （吉林模拟）已知点犃（１，０），犅（－ １，０），动点犕满足 犕犃 － 犕犅 ＝２，则点犕 的轨迹方程是 （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　Ａ．狔＝０（－１≤狓≤１）Ｂ．狔＝０（狓≥１） Ｃ．狔＝０（狓≤－１） Ｄ．狔＝０（狓 ≥１） 例２ （２０１６·全国Ⅰ卷）已知方程 狓２ 犿２＋狀 － 狔 ２ ３犿２－狀 ＝１表示双曲线，且该双曲线两焦点间的 距离为４，则狀的取值范围是 （　　） Ａ．（－１，３） Ｂ．（－１，槡３） Ｃ．（０，３） Ｄ．（０，槡３） 例３ （天心模拟）在△犃犅犆中，已知犃（－ ４，０），犅 （４，０）， 且 ｓｉｎ犃 － ｓｉｎ犅 ＝ １ ２ ｓｉｎ犆，则犆的轨迹方程是 （　　） Ａ． 狓２ ４ ＋ 狔 ２ １２ ＝１ Ｂ． 狓２ ４ － 狔 ２ １２ ＝１（狓＜－２） Ｃ． 狓２ １２ － 狔 ２ ４ ＝１ Ｄ． 狓２ １２ － 狔 ２ ４ ＝１（狔≠１） 例４ （济宁一模）已知双曲线 狓２ 犪２ － 狔 ２ 犫２ ＝１（犪 ＞０，犫＞０）的左、右焦点分别为犉１，犉２，实轴 长为４，渐近线方程为狔＝± １ ２ 狓，｜犕犉１｜－｜ 犕犉２｜＝４，点犖 在圆狓２＋狔２－４狔＝０上，则 犕犖 ＋｜犕犉１｜的最小值为 （　　） Ａ．２＋槡７ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７