第9章 第2节 椭圆之时-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !２"#KCIL !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 椭圆定义的基础 Ⅲ 利用第一定义求解轨迹 Ⅱ 利用定义求解最值问题 Ⅱ 简单几何性质及其离心率 Ⅲ 命题角度： （１）椭圆的定义及应用 （２）椭圆的标准方程 （３）椭圆的几何性质 （４）直线与椭圆的位置关系．核心素养：直观想象、逻 辑推理、数学运算 １．椭圆的定义 平面内一个动点犘到两个定点犉１、犉２的距 离之 和 等 于 常 数 （犘犉１ ＋ 犘犉２ ＝２犪＞ 犉１犉２ ），这个动点犘的轨迹叫椭圆．这两个定 点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 若 犘犉１ ＋ 犘犉２ ＝ 犉１犉２ ，则动点犘的 轨迹 为 线 段 犉１犉２；若 犘犉１ ＋ 犘犉２ ＜ 犉１犉２ ，则动点犘的轨迹无图形． ２．椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１ （犪＞犫＞０） 狓２ 犫２ ＋ 狔 ２ 犪２ ＝１ （犪＞犫＞０） 图形 性 质 焦点 犉１（－犮，０）， 犉２（犮，０） 犉１（０，－犮）， 犉２（０，犮） 焦距 犉１犉２ ＝ ２犮（犮＝ 犪２－犫槡 ２） 犉１犉２ ＝ ２犮（犮＝ 犪２－犫槡 ２） 范围 狓 ≤犪， 狔 ≤犫 狓 ≤犫， 狔 ≤犪 对称性 关于狓轴、狔轴和原点对称 顶点 （±犪，０）， （０，±犫） （０，±犪）， （±犫，０） 轴 长轴长＝２犪，短轴长＝２犫 离心率 犲＝ 犮 犪 （０＜犲＜１）（注：离心率越小越圆， 越大越扁） ３．椭圆的通径以及有关最值 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭 圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为２犫 ２ 犪 ． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个 端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点； ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴 的两个端点． 距离的最大值为犪＋犮，距离的最小值为犪－ 犮．（使用点到点的距离公式证明） ４．点与椭圆的位置关系 对于椭圆狓 ２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０），点犘（狓０， 狔０）在椭圆内部，等价于 狓２０ 犪２ ＋ 狔 ２ ０ 犫２ ＜１，点犘（狓０， 狔０）在椭圆外部，等价于 狓２０ 犪２ ＋ 狔 ２ ０ 犫２ ＞１． ５．椭圆的焦点三角形 椭圆焦点三角形的面积为犛＝犫２·ｔａｎθ ２ （θ 为焦距对应的张角）． 证明：设犘犉１＝犿，犘犉２＝狀 犿＋狀＝２犪① ２（ ）犮 ２＝犿２＋狀２－２犿狀ｃｏｓθ② 犛△犉１犘犉２＝ １ ２ 犿狀ｓｉｎθ 烅 烄 烆 ③               ， ·４０２· !?" &;--<=> =?./@AB ① ２－②：犿狀＝ ２犫２ １＋ｃｏｓθ 犛△犉１犘犉２ ＝犫 ２· ｓｉｎθ １＋ｃｏｓθ ＝犫２· ２ｓｉｎ θ ２ ｃｏｓ θ ２ ２ｃｏｓ２ θ ２ ＝犫２ｔａｎ θ ２ ． ６．椭圆的切线 （１）椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）上一点犘（狓０， 狔０）处的切线方程是 狓０狓 犪２ ＋ 狔０狔 犫２ ＝１． （２）过椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）外一点犘（狓０， 狔０），所引两条切线的切点弦方程是 狓０狓 犪２ ＋ 狔０狔 犫２ ＝１． （３）椭圆 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）与直线犃狓＋ 犅狔＋犆＝０相切的条件是犃 ２犪２＋犅２犫２＝犆２     ． !"•Š?%:–—˜ 在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义， 俗称定义优先原则，而非上来就直接将直线和椭 圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆 上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线， 用定义分析问题． 例１ （镇江模拟）已知椭圆犆： 狓２ １６ ＋ 狔 ２ ９ ＝１ 的左、右焦点分别为犉１，犉２，过点犉２的直线交 椭圆犆于犘，犙两点，若 犉１犘 ＋ 犉１犙 ＝１０， 则 犘犙 等于 （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ 例２ （２０２１·新高考Ⅰ卷）已知犉１，犉２是 椭圆犆： 狓２ ９ ＋ 狔 ２ ４ ＝１的两个焦点，点犕 在犆上， 则｜犕犉１｜·｜犕犉２｜的最大值为 （　　） Ａ．１３ Ｂ．１２ Ｃ．９ Ｄ．６ 训练１ （２０２２·全国甲卷）已知椭圆犆： 狓２ 犪２ ＋ 狔 ２ 犫２ ＝１（犪＞犫＞０）的离心率为 １ ３ ，犃１，犃２分别 为犆的左、右顶点，犅为犆的上顶点．若犅犃１ ! · 犅犃２ ! ＝－１，则犆的方程为 （　　） Ａ． 狓２ １８ ＋ 狔 ２ １６ ＝１ Ｂ． 狓２ ９ ＋ 狔 ２ ８ ＝１ Ｃ． 狓２ ３ ＋ 狔 ２ ２ ＝１ Ｄ． 狓２ ２ ＋狔 ２＝１ 训练２ （深圳模拟）已知椭圆犆： 狓２ ２５ ＋ 狔 ２ １６ ＝ １，点犕 与犆的焦点不