第8章 第1节 直线方程-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!８"　犡犐犖犢犗犝犎犝犃犡犐犃犖犌犡犐犖犆犎犃犖犌犣犃犐犣犎犐犡犐犃犖犢犝犢犝犃犖犅犝犘犃犐犎犝犃犐 <=>?<@A(BCDE)FG !１"#5<AB !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 直线的方程 Ⅲ 直线的位置关系 Ⅰ 距离问题 Ⅲ 对称问题 Ⅱ 直线系方程 Ⅱ 命题角度： （１）直线方程应用 （２）直线的位置关系 （３）直线与曲线问题 （４）距离最短问题 １．直线的倾斜角和斜率 １）直线的倾斜角 若直线犾与狓轴相交，则以狓轴正方向为始 边，绕交点逆时针旋转直至与犾重合所成的角称 为直线犾的倾斜角，通常用α，β，γ，…表示． （１）若直线与狓轴平行（或重合），则倾斜角 为０． （２）倾斜角的取值范围α∈［０，π）． ２）直线的斜率 设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直 线的斜率，记为犽＝ｔａｎα． （１）当α＝ π ２ 时，斜率不存在；所以竖直线 是不存在斜率的． （２）所有的直线均有倾斜角，但不是所有的 直线均有斜率． （３）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度， 但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线 方程相联系）． （４）犽 越大，直线越陡峭． （５）倾斜角α与斜率犽的关系． ３）过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，犃（狓１，狔１），犅（狓２， 狔２）则犽＝ 狔２－狔１ 狓２－狓１ ． （１）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （２）若狓１＝狓２，则直线犃犅的斜率不存在， 此时直线的倾斜角为９０°． ４）三点共线 两直线犃犅，犃犆的斜率相等→犃，犅，犆三 点共线；反过来，犃，犅，犆三点共线，则直线 犃犅，犃犆的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不 存在． ２．直线的方程 １）直线的截距 若直线犾与坐标轴分别交于（犪，０），（０， 犫），则称犪，犫分别为直线犾的横截距、纵截距． （１）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记 形式，其取值可正，可负，可为０（不要顾名思 义误认为与“距离”相关）            ． ·７８１· 学习数学·领悟数学· !" （２）横纵截距均为０的直线为过原点的非水 平非竖直直线． ２）直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 狔－狔１＝ 犽（狓－狓１） 不含垂直于狓轴的直线 斜截式 狔＝犽狓＋犫 不含垂直于狓轴的直线 两点式 狔－狔１ 狔２－狔１ ＝ 狓－狓１ 狓２－狓１ 不含直线狓＝狓１（狓１≠狓２）和 直线狔＝狔１（狔１≠狔２） 截距式 狓 犪 ＋ 狔 犫 ＝１ 不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 一般式 犃狓＋犅狔＋犆＝０ （犃２＋犅２≠０） 平面直角坐标系内的直线都 适用 　　３）求曲线（或直线）方程的方法 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线） 方程的思路通常有两种： （１）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然 后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则 需找到两个点，或者一点一斜率． （２）间接法：若题目条件与所求要素联系不 紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程， 然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数 与所求参数的个数一致）． ４）线段中点坐标公式 若点犘１，犘２的坐标分别为（狓１，狔１），（狓２， 狔２）且线段犘１犘２的中点犕 的坐标为（狓，狔），则 狓＝ 狓１＋狓２ ２ 狔＝ 狔１＋狔２ 烅 烄 烆 ２ ，此公式为线段犘１犘２ 的中点坐标 公式． ３．距离问题 １）两点间距离 设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则 犃犅 ＝ （狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）槡 ２． ２）点到直线距离 设犘（狓０，狔０），犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，则点犘 到直线犾的距离犱＝ 犃狓０＋犅狔０＋犆 犃２＋犅槡 ２ ． ３）两平行线间距离 犾１：犃狓＋犅狔＋犆１＝０，犾２：犃狓＋犅狔＋犆２＝ ０，则犾１，犾２的距离为犱＝ 犆１－犆２ 犃２＋犅槡 ２ ． ４）双根式 双 根 式 犳 （狓）＝ 犪１狓２＋犫１狓＋犮槡 １ ± 犪２狓 ２＋犫２狓＋犮槡 ２型函数求解，首先想到两点间 的距离，或者利用单调性求解             ． !"i„%…† 例１ （广东模拟）直线狓＋槡３狔－１＝０的倾 斜角α为 （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　 Ａ． π ３ Ｂ． ２ ３ π Ｃ． π ６ Ｄ． ５π ６ 例２ （云南模拟）如图中的直线犾１，犾２，犾３ 的斜率分别为犽１，犽２，犽３，则 （　　） Ａ．犽１＜犽２＜犽３ Ｂ．犽３＜犽１＜犽２ Ｃ．犽３＜犽２＜犽１ Ｄ．犽１＜犽３＜犽２ 例３ （湖南模拟）已知直线犾的方程为 狓ｓｉｎα＋槡３狔－１＝０，α∈犚，则直线犾的倾斜角范 围 （　　） Ａ．０， π（ ］３ ∪ ２π ３ ，［ ）π Ｂ．０， π［ ］６ ∪ ５π ６ ，［ ）π Ｃ．０， π（ ）６ ∪ ５π ６