第6章 第4节 综合留尾-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !４"#/012 !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 分组转化求和 Ⅱ 倒序相加法 Ⅱ 裂项相消法求和 Ⅲ 巧算错位相减法 Ⅲ ２０２４年高考数列求和部分仍将重点考查裂项相消法和 错位相减法及与不等式恒成立等相关的数列综合问题， 求和问题多为解答题第二问，难度为中档题，数列综 合问题为小题压轴题，为难题 １．公式法 （１）等差数列｛犪狀｝的前狀 项和为犛狀＝ 狀（犪１＋犪狀） ２ ＝狀犪１＋ 狀（狀－１） ２ 犱，推导方法为倒序相 加法． （２）等比数列｛犪狀｝的前狀 项和为犛狀＝ 狀犪１，狇＝１ 犪１（１－狇狀） １－狇 ，狇≠ 烅 烄 烆 １ ，推导方法为乘公比与错位相 减法． （３）一些常见的数列的前狀项和 ①∑ 狀 犽＝１ 犽＝１＋２＋３＋…＋狀＝ １ ２ 狀（狀＋１）；∑ 狀 犽＝１ ２犽＝２＋４＋６＋…＋２狀＝狀（狀＋１）； ②∑ 狀 犽＝１ （２犽－１）＝１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２； ③∑ 狀 犽＝１ 犽２＝１２＋２２＋３２＋…＋狀２＝ １ ６ 狀（狀＋１）· （２狀＋１）； ④ ∑ 狀 犽＝１ 犽３ ＝ １３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋ … ＋狀３ ＝ 狀（狀＋１）［ ］２ ２ ． ２．几种数列求和的常用方法 （１）分组转化求和法：一个数列的通项公式 是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的， 则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （２）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而 求得前狀项和． （３）错位相减法：如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，那么求这个数列的前狀项和即可用错位相减 法求解． （４）倒序相加法：如果一个数列 犪｛ ｝狀 与首末 两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前狀项和即可用倒序相加 法求解． ３．常用结论 常见的裂项技巧： ① １ 狀（狀＋１） ＝ １ 狀 － １ 狀＋１ ； １ 狀（狀＋２） ＝ １ ２ １ 狀 － １ 狀（ ）＋２ ； １ 狀（狀＋犽） ＝ １ 犽 １ 狀 － １ 狀＋（ ）犽 ； １ （２狀－１）（２狀＋１） ＝ １ ２ １ ２狀－１ － １ ２狀（ ）＋１ ； ② １ 狀（狀＋１）（狀＋２） ＝ １ ２ １ 狀（狀＋１） － １ （狀＋１）（狀＋２［ ］）； （２狀）２ （２狀－１）（２狀＋１） ＝１＋ １ ２ １ ２狀－１ － １ ２狀（ ）＋１ ； ③ 狀＋２ 狀（狀＋１） ·１ ２狀 ＝ ２（狀＋１）－狀 狀（狀＋１） ·１ ２狀 ＝ １ 狀·２狀－１ － １ （狀＋１）２狀 ； 狀 （狀＋１）！ ＝ １ 狀！ － １ （狀＋１）！ ； ④ １ 槡狀＋ 狀槡 ＋１ ＝ 狀槡 ＋１－槡狀； ⑤ ｓｉｎ１° ｃｏｓ狀°ｃｏｓ（狀＋１）° ＝ｔａｎ（狀＋１）°－ｔａｎ狀°； 常见放缩公式： ２（ 狀槡 ＋１－槡狀）＝ ２ 狀槡 ＋１＋槡狀 ＜ １ 槡狀 ＜ ２ 槡狀＋ 狀槡 －１ ＝２（槡狀－ 狀槡 －１）               ． ·８４１· !?" !"!"#$% &'#$(') ４．数列在数学文化与实际问题中的应用 纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的 问题，层出不穷，让人耳目一新．同时它也使考 生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打 开．通过本节对典型高考问题的剖析、数学文化 的介绍及精选模拟题的求解，考生可提升审题能 力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文 化的理解，提高数学核心素养   ． !"CDEF(G 例１ （２０２１·新高考Ⅰ卷）已知数列 犪｛ ｝狀 满 足犪１＝１，犪狀＋１＝ 犪狀＋１，狀为奇数， 犪狀＋２，狀为偶数 烅 烄 烆 ． （１）记犫狀＝犪２狀，写出犫１，犫２，并求数列 犫｛ ｝狀 的通项公式； （２）求 犪｛ ｝狀 的前２０项和．  　  　  　  　  　 例２ 已知数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和是犛狀，且 犛狀＝２犪狀－１（狀∈犖）． （１）求数列 犪｛ ｝狀 的通项公式； （２）令犫狀＝ｌｏｇ２犪狀，求数列 （－１）狀犫２｛ ｝狀 前２狀 项的和犜．  　  　  　  　  　 