第6章 第3节 等比纷飞-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" !"!"#$% &'#$(') !３" (,-. !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 等比数列的基本运算 Ⅲ 等比数列的判定与证明 Ⅱ 等比数列的性质与应用 Ⅲ ２０２４年高考仍将考查等比数列定义、性质、前狀项和 公式，题型为选择题、填空题或解答题的第１小题， 难度为基础题或中档题． １．等比数列的有关概念 （１）定义：如果一个数列从第２项起，每一 项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那 么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比 数列的公比，通常用字母狇表示，定义的表达式 为犪狀＋１ 犪狀 ＝狇． （２）等比中项：如果犪，犌，犫成等比数列， 那么犌叫做犪与犫的等比中项． 即犌是犪与犫的等比中项犪，犌，犫成等比 数列犌 ２＝犪犫． ２．等比数列的有关公式 （１）等比数列的通项公式 设等比数列 犪｛ ｝狀 的首项为犪１，公比为狇（狇≠ ０），则它的通项公式犪狀＝犪１狇狀－１． 推广形式：犪狀＝犪犿·狇狀－犿． （２）等比数列的前狀项和公式 等比数列 犪｛ ｝狀 的公比为狇（狇≠０），其前狀项 和为犛狀，则当狇＝１时，犛狀＝狀犪１；当狇≠１时， 犛狀＝ 犪１（１－狇狀） １－狇 ＝ 犪１－犪狀狇 １－狇 ． ３．常用结论 （１）若犿＋狀＝狆＋狇＝２犽（犿 ，狀，狆，狇，犽 ∈犖），则犪犿·犪狀＝犪狆·犪狇＝犪 ２ 犽． （２）若 犪｛ ｝狀 ， 犫｛ ｝狀 （项数相同）是等比数列， 则｛λ犪狀｝（λ≠０）， １ 犪｛ ｝狀 ，｛犪２狀｝，｛犪狀 ·犫狀｝， 犪狀 犫｛ ｝狀 仍是等比数列． （３）在等比数列 犪｛ ｝狀 中，等距离取出若干项 也构成一个等比数列，即犪狀，犪狀 ＋犽，犪狀 ＋２犽，犪狀 ＋３犽…为等比数列，公比为狇犽． （４）公比不为－１的等比数列 犪｛ ｝狀 的前狀项 和为犛狀，则犛狀，犛２狀－犛狀，犛３狀－犛２狀仍成等比数 列，其公比为狇狀． （５）犪｛ ｝狀 为等比数列，若犪１·犪２·…·犪狀＝ 犜狀，则犜狀， 犜２狀 犜狀 ，犜３狀 犜２狀 ，…成等比数列． （６）当狇≠０，狇≠１时，犛狀＝犽－犽·狇狀（犽≠０） 是 犪｛ ｝狀 成等比数列的充要条件，此时犽＝ 犪１ １－狇 ． （７）有穷等比数列中，与首末两项等距离的 两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等 于中间项的平方            ． !"8B,-%:;<= 例１ （１）（２０１９·全国Ⅲ卷）各项均为正数 的等比数列 犪｛ ｝狀 的前４项和为１５，且犪５＝３犪３＋ ４犪１，则犪３＝ （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．４ Ｄ．２ （２）（２０２２·全国乙卷）已知等比数列｛犪狀｝的 前３项和为１６８，犪２－犪５＝４２，则犪６＝ （　　） Ａ．１４ Ｂ．１２ Ｃ．６ Ｄ．   ３ ·５４１· 学习数学·领悟数学· !" （３）（２０１９·全国Ⅰ卷）设犛狀 为等比数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和．若犪１＝ １ ３ ，犪２４＝犪６，则犛５＝ 　　　　； （４）已知等比数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和为犛狀，且 犪１＋犪３＝ ５ ２ ，犪２＋犪４＝ ５ ４ ，则犛狀 犪狀 ＝　　　　． 例２ （２０１８·全国Ⅲ卷）等比数列 犪｛ ｝狀 中， 犪１＝１，犪５＝４犪３． （１）求 犪｛ ｝狀 的通项公式； （２）记犛狀 为 犪｛ ｝狀 的前狀项和．若犛犿＝６３， 求犿．  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 等比数列基本量运算的解题策略 （１）等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题，等比数列中有五个 量犪１，狀，狇，犪狀，犛狀，一般可以“知三求 二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （２）等比数列的前狀项和公式涉及对公 比狇的分类讨论：当狇＝１时，犛狀＝狀犪１； 当狇≠１时，犛狀＝ 犪１（１－狇狀） １－狇 ＝ 犪１－犪狀狇 １－狇 ． +"8B,-%>?$@A 例 （２０１９·全国Ⅱ卷）已知数列犪｛ ｝狀 和犫｛ ｝狀 满 足犪１＝１，犫１＝０，４犪狀＋１＝３犪狀－犫狀＋４，４犫狀＋１＝３犫狀 －犪狀－４． （１）证明：｛犪狀＋犫狀｝是等比数列，｛犪狀－犫狀｝是 等差数列； （２）求 犪｛ ｝狀 和犫｛ ｝狀 的通项公式．  　  　 