第6章 第2节 等差入微-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !２"#()*+ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 等差数列的基本运算 Ⅲ 等差数列的判定与证明 Ⅱ 等差数列的性质与应用 Ⅲ ２０２４年高考仍将考查等差数列定义、性质、前狀项和 公式，题型为选择题填空题或解答题的第１小题，难 度为基础题或中档题． １．等差数列的有关概念 （１）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第２项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，通常用字母犱表示，定义表达式为犪狀－犪狀－１ ＝犱（常数）（狀∈犖，狀≥２）． （２）等差中项 若三个数犪，犃，犫成等差数列，则犃叫做犪 与犫的等差中项，且有犃＝ 犪＋犫 ２ ． ２．等差数列的有关公式 （１）等差数列的通项公式 如果等差数列 犪｛ ｝狀 的首项为犪１，公差为犱， 那么它的通项公式是犪狀＝犪１＋（狀－１）犱． （２）等差数列的前狀项和公式 设等差数列 犪｛ ｝狀 的公差为犱，其前狀项和犛狀 ＝狀犪１＋ 狀（狀－１） ２ 犱＝ 狀（犪１＋犪狀） ２ ． ３．等差数列的常用性质 已知 犪｛ ｝狀 为等差数列，犱为公差，犛狀 为该 数列的前狀项和． （１）通项公式的推广：犪狀＝犪犿＋（狀－犿）犱（狀， 犿∈犖）． （２）在等差数列 犪｛ ｝狀 中，当犿＋狀＝狆＋狇时， 犪犿＋犪狀＝犪狆＋犪狇（犿，狀，狆，狇∈犖 ）． 特别地，若犿＋狀＝２狋，则犪犿＋犪狀＝２犪狋（犿， 狀，狋∈犖）． （３）犪犽，犪犽 ＋犿，犪犽 ＋２犿，…仍是等差数列， 公差为犿犱（犽，犿∈犖）． （４）犛狀，犛２狀－犛狀，犛３狀－犛２狀，…也成等差数 列，公差为狀２犱． （５）若 犪｛ ｝狀 ， 犫｛ ｝狀 是等差数列，则｛狆犪狀＋ 狇犫狀｝也是等差数列． （６）若 犪｛ ｝狀 是等差数列，则 犛狀｛ ｝狀 也成等差数 列，其首项与 犪｛ ｝狀 首项相同，公差是 犪｛ ｝狀 公差 的１ ２ ． （７）若项数为偶数２狀，则犛２狀＝狀（犪１＋犪２狀）＝ 狀（犪狀＋犪狀＋１）． 犛偶－犛奇＝狀犱； 犛奇 犛偶 ＝ 犪狀 犪狀＋１ ． （８）若项数为奇数２狀－１，则犛２狀－１＝（２狀－１）犪狀； 犛奇－犛偶＝犪狀； 犛奇 犛偶 ＝ 狀 狀－１ ． （９）在等差数列 犪｛ ｝狀 中，若犪１＞０，犱＜０，则 满足 犪犿≥０ 犪犿＋１≤ 烅 烄 烆 ０ 的项数犿使得犛狀取得最大值犛犿；若 犪１＜０，犱＞０，则满足 犪犿≤０ 犪犿＋１≥ 烅 烄 烆 ０ 的项数犿使得犛狀 取得最小值犛犿． ４．等差数列的前狀项和公式与函数的关系 犛狀＝ 犱 ２ 狀２＋ 犪１－ 犱（ ）２ 狀．数列 犪｛ ｝狀 是等差数 列犛狀＝犃狀 ２＋犅狀（犃，犅为常数）． ５．等差数列的前狀项和的最值 在等差数列 犪｛ ｝狀 中，犪１＞０，犱＜０，则犛狀存 在最大值；若犪１＜０，犱＞０，则犛狀存在最小值                ． ·０４１· !?" !"!"#$% &'#$(') !"89,-%:;<= 例１ （２０２３·新高考Ⅰ）记犛狀 为数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和，设甲： 犪｛ ｝狀 为等差数列；乙： 犛狀｛ ｝狀 为等差数列，则 （　　） Ａ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 Ｂ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 Ｃ．甲是乙的充要条件 Ｄ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 例２ （２０１８·全国Ⅰ卷）记犛狀 为等差数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和．若３犛３＝犛２＋犛４，犪１＝２，则 犪５＝ （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　Ａ．－１２ Ｂ．－１０ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 例３ （２０２０·全国Ⅱ卷）北京天坛的圆丘坛 为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中 心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 ９块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 ９块，下一层的第一环比上一层的最后一环多９ 块，向外每环依次也增加９块．已知每层环数相 同，且下层比中层多７２９块，则三层共有扇面形 石板（不含天心石） （　　） Ａ．３６９９块 Ｂ．３４７４块 Ｃ．３４０２块 Ｄ．３３３９块 例４ （２０２１·新高考Ⅱ卷）记犛狀 是公差不 为０的等差数列 犪｛ ｝狀 的前狀项和，若犪３＝犛５， 犪２犪４＝犛４． （１）求数列 犪｛ ｝狀 的通项公式犪狀； （２）求使犛狀＞犪狀成立的狀的最小值．  　  　  　  　  　  　 