第5章 第3节 四心比肩(拓展提升)-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

丫学习数学·领悟数学·四用数学 第3节 四心比肩（拓展提升）】 基础知识诊断 回顾教材 务实基础 知跟梳埋 元=0. ○L.四心的概念介绍 S△x思= 1,S=,1. SANC Sa4m,AX'S2AGA入'Sa4西 (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分 成2：1. -,故S△x附：S△Mc:SAc=入：A2:A1. (2)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）， 角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (3)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）， 外心到三角形各顶点的距离相等. (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 2.奔驰定理一解决面积比例问题 3.三角形四心与推论 重心定理：三角形三条中线的交点. (1)O是△ABC的重心 已知△ABC的顶点A(x,M),B(x, 2),C(x,y),则△ABC的重心坐标为 S△x:S△m4:S△kw=1:1:1=OA+OB+ G(5++,y+y+）) 3 3 元=0. 注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则： (2)O是△ABC的内心 OA+OB+OC=0. S△mr:S2m:S△￥w=a:b:c台aOA+ (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为 bOB+c0元C=0. 2:1,且分的三个三角形面积相等 (3)O是△ABC的外心 重心的向量表示：AG=号AB+号A心 S△mr:S△an:S△we=sin2A：sin2B:sin2C 奔驰定理：·O+xO亦+x·元=0， sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0. 则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比等于 (4)O是△ABC的垂心 A3:2: SAc SAc:SAOB=tanA tanB tanC 奔驰定理证明：如图，令λ1OA=OA1,A2 tanA.OA+tanB.OB++tanC.OC=0. O成=OB,O元=O元，即满足OA+O店，+ 考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一奔驰定理 面积之比等于 () A.9:4:1 B.1:4:9 8例已知点O为△ABC内一点，且OA+2 C.3:2:1 D.1:2:3 OB+3O元=0，则△AOB,△AOC,△BOC的 8训练（保定月考）已知O为正△ABC内的 ·130· 第⑤章深知身在情更长平面向量自滩忘 一点，且满足OA+入O店+(1十x)0元=0，若 △OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则入 【解题总结】 三角形的重心一定在三角形的中线 的值为 ( 上，所以，在等式中显示出的现象是两个 A.立 B. C.2 D.3 相加的向量，前面的系数相同，还需注意 两个系数相同的向量相加的同时还会产生 中点 8训练已知O是△ABC所在平面内一点，动 点P满足O巾=OA+a 亦十 A ABI sinB ACl sinc) (A∈(0，十o∞)，则动点P的轨迹一定通过 流二重心定理 △ABC的 8例1已知A,B,C三点不共线，且点O A.内心B.重心C.外心D.垂心 满足OA+O茄+元=0则下列结论正确的是 ( A.Oi=号Ai+号C B.O函=-号AB-}C C.0i=-}AB-号成 者点三内心定理 D.Oi-号AB+号C 角平分线定理 若OA=a,O亦-b.则 8例2已知O是平面上一定点，A,B,C ∠AOB平分线上的向量OM为A(合+合人入 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=A 由OM决定. 十(AB+AC),A∈(0，十0)，则P的轨迹一 角平分线定理证明令日和合分别为0方 定通过△ABC的 A.重心B.外心C.内心D.垂心 和0成方向上的单位向量，日+合是以日和 合为一组邻边的平行四边形过0点的一条对角 线，因此平行四边形为菱形，故日十合在 ∠AOB平分线上，但∠AOB平分线上的向量 OM终点的位置由OM决定，当入=1时，若 OM=1.则四边形OAMB构成以∠AOB= 120的菱形. ·131· 丫学习数学·领悟数学，厘用数学 8例1已知I为△ABC所在平面上的一点， A.垂心B.重心C.内心D.外心 且AB=c,AC=b,BC=a.若aA+bi+c 心=0，则I是△ABC的 ( A.重心B.外心C.内心D.垂心 者点四外心定理 外心定理垂直平分线的交点到三个顶点的 距离相等。 (1)Aò·A店=号A产，Aò·A花 A心，ò.-1 8例2已知O是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足O巾-A (2)A0·A=1A:+|AC,0, (AB AC 廊=1A+1,ò.Cò=|C 十 ABI 1ACI ,A∈(0，十c∞)，则动点P +}1aC. 的轨迹一定通过△ABC的 A.重心B.外心 C.内心D.垂心 (3)0.=14C-2AB,Bi AC=-21函，G而，A店=|C 21AC. 外心定理证明(1)如图，△ABC中，D,E, F分别为A