第5章 第2节 内积周全-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" DE12FGH IJ34KLM !２"#efgJ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 平面向量的数量积运算 Ⅲ 建立坐标系解决向量（拓展提升） Ⅱ 极化恒等式（拓展提升） Ⅱ ２０２４年高考仍将单独或与平面图形等知识结合考查平 面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计 算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或 难题，题型为选择题或填空题． １．平面向量的数量积 （１）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量犪与犫，我们把数量 犪 犫ｃｏｓθ叫做犪与犫的数量积（或内积），记 作犪·犫，即犪·犫＝ 犪 犫ｃｏｓθ，规定：零向量 与任一向量的数量积为０． （２）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：犪ｃｏｓθ叫做向量犪在犫方向 上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为 钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是０； ②犪·犫的几何意义：数量积犪·犫等于犪的 长度 犪 与犫在犪方向上射影 犫ｃｏｓθ的乘积． ２．数量积的运算律 已知向量犪，犫，犮和实数λ，则： ①犪·犫＝犫·犪； ②（λ犪）·犫＝λ（犪·犫）＝犪·（λ犫）； ③（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮． ３．数量积的性质 犪，犫都是非零向量，犲是与犫方向相同的单 位向量，θ是犪与犲的夹角，则： ①犲·犪＝犪·犲＝犪ｃｏｓθ；②犪⊥犫犪·犫＝０； ③当犪与犫同向时，犪·犫＝犪 犫 ；当犪与犫 反向时，犪·犫＝－犪 犫 ． 特别地，犪·犪＝ 犪 ２或 犪 ＝ 犪·槡 犪； ④ｃｏｓθ＝ 犪·犫 犪 犫 （犪 犫 ≠０）； ⑤｜犪·犫｜≤ 犪 犫 ． ４．数量积的坐标运算 已知非零向量犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２）， θ为向量犪，犫的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 犪 ＝ 犪·槡 犪 犪 ＝ 狓２＋狔槡 ２ 数量积 犪·犫＝ 犪 犫ｃｏｓθ 犪·犫＝狓１狓２＋狔１狔２ 夹角 ｃｏｓθ＝ 犪·犫 犪 犫 ｃｏｓθ＝ 狓１狓２＋狔１狔２ 狓２１＋狔 ２槡 １·狓２２＋狔２槡 ２ 犪⊥犫的充 要条件 犪·犫＝０ 狓１狓２＋狔１狔２＝０ 犪∥犫的充 要条件 犪＝λ犫（犫≠０） 狓１狔２－狓２狔１＝０ 犪·犫 与 犪 犫 的关系 犪·犫 ≤ 犪 犫 （当且仅当犪∥犫时 等号成立） 狓１狓２＋狔１狔２ ≤ 狓 ２ １＋狔 ２槡 １ · 狓２２＋狔２槡 ２ ５．常用结论 （１）犫在犪上的投影是一个数量，它可以为 正，可以为负，也可以等于０． （２）数量积的运算要注意犪＝０时，犪·犫＝０， 但犪·犫＝０时不能得到犪＝０或犫＝０，因为犪⊥犫 时，也有犪·犫＝０． （３）根据平面向量数量积的性质： 犪 ＝ 犪·槡 犪，ｃｏｓθ＝ 犪·犫 犪 犫 ，犪⊥犫犪·犫＝０等，               所 ·５２１· 学习数学·领悟数学· !" 以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角 度、垂直的问题． （４）若犪，犫，犮是实数，则犪犫＝犪犮犫＝犮（犪 ≠０）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向 量犪，犫，犮满足犪·犫＝犪·犮（犪≠０），则不一定有 犫＝犮，即等式两边不能同时约去一个向量，但可 以同时乘以一个向量． （５）数量积运算不适合结合律，即（犪·犫）·犮 ≠犪·（犫·犮），这是由于（犪·犫）·犮表示一个与犮 共线的向量，犪·（犫·犮）表示一个与犪共线的向 量，而犪与犮不一定共线，因此（犪·犫）·犮与犪 ·（犫·犮）不一定相等   ． !"ÌÍÎÏ)]ÏÔ01 例１ （２０２３·新高考Ⅱ）已知向量犪，犫满 足 犪－犫 ＝槡３， 犪＋犫 ＝ ２犪－犫 ，则 犫 ＝ ． 例２ （２０２１·上海卷）如图正方形犃犅犆犇 的边长为３，求犃犅 ! ·犃犆 ! ＝　　　　． 例３ （２０２２·全国乙卷）已知向量犪，犫满 足 犪 ＝１， 犫 ＝槡３， 犪－２犫 ＝３，则犪·犫＝ （　　） 　　 　 　　 　 　　　　 　　Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２ 例４ （２０２１·新高考Ⅱ卷）已知向量犪＋犫 ＋犮＝０， 犪 ＝１， 犫 ＝犮 ＝２，则犪·犫＋犫·犮 ＋犮·犪＝　　　　．  　  　  　  　  　  　  　  　  　  　  　 