第5章 第1节 基础连绵-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!５"　犛犎犈犖犣犎犐犛犎犈犖犣犃犐犙犐犖犌犌犈犖犌犆犎犃犖犌 犘犐犖犌犕犐犃犖犡犐犃犖犌犔犐犃犖犌犣犐犖犃犖犠犃犖犌 QRSTUVW(XYZ[\]^ !１"#LMcd !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 向量的概念 Ⅰ 平面向量的线性运算与共线定理 Ⅲ 平面向量的基本定理 Ⅱ 等和线定理（拓展提升） Ⅰ ２０２４年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共线 的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择题 或填空题． １．向量的有关概念 （１）定义：既有大小又有方向的量叫做向量， 向量的大小叫做向量的长度（或模）． （２）向量的模：向量犃犅 ! 的大小，也就是向量 犃犅 ! 的长度，记作 犃犅 ! ． （３）特殊向量 ①零向量：长度为０的向量，其方向是任意的； ②单位向量：长度等于１个单位的向量； ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平 行向量又叫共线向量．规定：０与任一向量平行； ④相等向量：长度相等且方向相同的向量； ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ２．向量的线性运算和向量共线定理 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 犪＋犫＝犫＋犪 ②结合律 （犪＋犫）＋犮 ＝犪＋（犫＋ 犮） 续表 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 求犪与犫的相 反向量－犫的 和的运算，叫 做犪与犫的差 三角形法则 犪－犫＝犪＋ （－犫） 数乘 求实数λ与 向量犪 的积 的运算 （１）λ犪 ＝λ 犪 ． （２）当λ＞０时，λ犪 与犪 的方向相同； 当λ＜０时，λ犪与犪 的方向相反；当λ ＝０时，λ犪＝０ λ，μ∈犚 λ（μ犪）＝（λμ）犪 （λ＋μ）犪＝λ犪 ＋μ犪λ（犪＋犫） ＝λ犪＋λ犫 【提示】 （１）向量表达式中的零向量写成０，而不能 写成０． （２）两个向量共线要区别于两条直线共线， 两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线 平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行 是两种不同的关系． （３）要注意三角形法则和平行四边形法则适 用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起 点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形 的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时 两个向量必须首尾相接，             否则就要把向量进行平 ·９１１· 学习数学·领悟数学· !" 移，使之符合条件． （４）向量加法和减法几何运算应该更广泛、 灵活，如：犗犃 ! －犗犅 ! ＝犅犃 ! ，犃犕 ! －犃犖 ! ＝犖犕 ! ， 犗犃 ! ＝犗犅 ! ＋犆犃 ! 犗犃 ! －犗犅 ! ＝犆犃 ! 犅犃 ! －犆犃 ! ＝０ 犅犃 ! ＋犃犆 ! ＝０犅犆 ! ＝０． ３．向量共线定理 （１）如果犪＝λ犫且犫≠０，则犪∥犫；反之犪∥犫 且犫≠０，则一定存在唯一一个实数λ，使犪＝λ犫． 推论： ①犃，犅，犆三点共线犃犅 ! ，犃犆 ! 共线（功 能：证明三点共线）； ②犘犃 ! ，犘犅 ! ，犘犆 ! 中，三个向量的终点犃， 犅，犆共线存在实数λ，μ使得犘犃 ! ＝λ犘犅 ! ＋ μ犘犆 ! ，且λ＋μ＝１． （２）犅犇 ! ＝λ犇犆 ! ，犃犇 ! ＝ １ １＋λ 犃犅 ! ＋ λ １＋λ 犃犆 ! ． ４．常用结论 （１）向量的三角形法则适用于任意两个向量 的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相 加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的 多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一 个向量终点的向量，即犃１犃２ ! ＋犃２犃３ ! ＋…＋ 犃狀－１犃狀 ! ＝犃１犃狀 ! ． （２） 犪 － 犫 ≤ 犪±犫 ≤ 犪 ＋ 犫 ，当 且仅当犪，犫至少有一个为０时，向量不等式的 等号成立． （３）特 别 地： 犪 －犫 ≤ 犪±犫 或 犪±犫 ≤犪 ＋犫 ，当且仅当犪，犫至少有一个为 ０时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （４）减法公式：犃犅 ! －犃犆 ! ＝犆犅 ! ，常用于向量 式的化简． （５）犃，犘，犅三点共线，则犗犘 ! ＝（１－λ）犗犃 ! ＋λ犗犅 ! （λ∈犚），这是直线的向量式方程． ５．基底 如果犲１，犲２ 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量犪，有且仅 有一对实数λ１，λ２，使得犪＝λ１犲１＋λ２犲２．我们把 不共线的向量犲１，犲２叫做表示这个平面内所有向 量的一组基底． ６．平面向量的直角坐标运算 ①已知点犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则： 犃犅 ! ＝（狓２－狓１，狔２－狔１）； 犃犅 ! ＝ （狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）槡 ２． ②已知犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２），则犪± 犫＝（狓１±狓２，狔１±狔２），λ犪＝（λ狓１，λ狔１），犪·