第4章 第4节 解三惘惘-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !４"#)abb !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 利用正余弦定理解三角形 Ⅲ 判断三角形形状 Ⅰ 三角形取值范围问题 Ⅲ 张角定理、角平分线 张角定理的拓展提升 Ⅰ 实际应用问题 Ⅱ ２０２４高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正余 弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、 角与面积问题，题型既有选择也有填空，更多是解答 题，若考查解答题，主要放在前两题位置，为中档题； 若为选择题，可以为基础题，多为中档题，也可为压 轴题． １．基本定理公式 （１）正余弦定理：在△犃犅犆中，角犃，犅， 犆所对的边分别是犪，犫，犮，犚为△犃犅犆外接圆 半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 犪 ｓｉｎ犃 ＝ 犫 ｓｉｎ犅 ＝ 犮 ｓｉｎ犆 ＝２犚 犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃； 犫２＝犮２＋犪２－２犪犮ｃｏｓ犅； 犮２＝犪２＋犫２－２犪犫ｃｏｓＣ． 常见 变形 （１）犪＝２犚ｓｉｎ犃，犫＝ ２犚ｓｉｎ犅，犮＝２犚ｓｉｎ犆； （２）ｓｉｎ犃＝ 犪 ２犚 ， ｓｉｎ犅＝ 犫 ２犚 ，ｓｉｎ犆＝ 犮 ２犚 ； ｃｏｓ犃＝ 犫２＋犮２－犪２ ２犫犮 ； ｃｏｓ犅＝ 犮２＋犪２－犫２ ２犪犮 ； ｃｏｓ犆＝ 犪２＋犫２－犮２ ２犪犫 ． 　　方法技巧：解三角形多解情况 在△犃犅犆中，已知犪，犫和犃时，解的情况 如下： 犃为锐角 犃为钝 角或直角 图形 续表 犃为锐角 犃为钝 角或直角 关系 式 犪＝犫ｓｉｎ犃 犫ｓｉｎ犃＜犪＜犫 犪≥犫 犪＞犫犪≤犫 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 （２）面积公式：①犛△犃犅犆 ＝ １ ２ 犪犫ｓｉｎ犆＝ １ ２ 犫犮ｓｉｎ犃＝ １ ２ 犪犮ｓｉｎ犅；②犛△犃犅犆＝ 犪犫犮 ４犚 ＝ １ ２ （犪＋犫＋ 犮）·狉（狉是三角形内切圆的半径，并可由此计算 犚，狉．） ２．相关应用 （１）正弦定理的应用 ①边化角，角化边犪∶犫∶犮＝ｓｉｎ犃∶ｓｉｎ犅 ∶ｓｉｎ犆； ②大边对大角，大角对大边； 犪＞犫犃＞犅ｓｉｎ犃＞ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃＜ｃｏｓ犅； ③合分比： 犪＋犫＋犮 ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆 ＝ 犪＋犫 ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犅 ＝ 犫＋犮 ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犆 ＝ 犪＋犮 ｓｉｎ犃＋ｓｉｎ犆 ＝ 犪 ｓｉｎ犃 ＝ 犫 ｓｉｎ犅 ＝ 犮 ｓｉｎ犆 ＝２犚． （２）△犃犅犆内角和定理：犃＋犅＋犆＝π ①ｓｉｎ犆＝ｓｉｎ（犃＋犅）＝ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＋ｃｏｓ犃ｓｉｎ犅 犮＝犪ｃｏｓ犅＋犫ｃｏｓ犃              ； ·０１１· !?" ;<-.=4> ?@/0ABC 同理有：犪＝犫ｃｏｓ犆＋犮ｃｏｓ犅； 犫＝犮ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓＣ；（射影定理） ②－ｃｏｓ犆＝ｃｏｓ（犃＋犅）＝ｃｏｓ犃ｃｏｓ犅－ｓｉｎ犃ｓｉｎ犅； ③斜三角形中，－ｔａｎ犆＝ｔａｎ（犃＋犅）＝ ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅 １－ｔａｎ犃ｔａｎ犅 ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＋ｔａｎ犆＝ｔａｎ犃ｔａｎ犅ｔａｎ犆； ④ｓｉｎ 犃＋犅（ ）２ ＝ｃｏｓ 犆 ２ ；ｃｏｓ 犃＋犅（ ）２ ＝ ｓｉｎ 犆 ２ ； ⑤在△犃犅犆中，内角犃，犅，犆成等差数列 犅＝ π ３ ，犃＋犆＝ ２π ３ ． ３．实际应用 （１）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角 中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下 方的角叫俯角（如图１）． （２）方位角：从指北方向顺时针转到目标方 向线的水平角，如犅点的方位角为α（如图２）． （３）方向角：相对于某一正方向的水平角． ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到 达目标方向（如图３）； ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到 达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似． （４）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数 （如图４，角θ为坡角）； ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比 （如图４，犻为坡度）．坡度又称为坡比         ． !"N-®½ ●角度１　公式的应用 例１－１（２０２２·浙江卷）我国南宋著名数学 家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式， 他把这种方法称为“三斜求积”，填补了我国传统 数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就 是犛＝ １ ４ 犮２犪２－ 犮２＋犪２－犫２（ ）２［ ］槡 ２ ，其中犪，犫， 犮是三角形的三边，犛是三角形的面积．设某三 角形的三边犪＝槡２，犫＝槡３，犮＝２，则该三角形 的面积犛＝ ． 例１－２（２０２０·全国Ⅲ卷）在△犃犅犆中， ｃｏｓ犆＝ ２ ３ ，犃犆＝４，犅犆＝３，则ｃｏｓ犅＝ （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　 Ａ． １ ９ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ 例１－３（２０１８·全国Ⅰ卷）△犃犅犆的内角 犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮．已知犫ｓｉｎ犆＋ 犮ｓｉｎ犅＝４