第4章 第3节 性质啾啾-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" ;<-.=4> ?@/0ABC !３"#;<`` !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 正弦函数、余弦函数、正 切函数的图象与性质 Ⅲ 狔＝ｓｉｎ狓与狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） 转换 Ⅱ 狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）解析式 的求法 Ⅱ ω函数之卡根法（拓展提 升） Ⅱ ２０２４年高考仍将重点考查三角函数的图象与性质及三 角函数变换，特别是这些知识点的组合是考查的热点， 题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档 题，也可以是压轴题．特别注意近年出现的求ω的压 轴选填题． １．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与 性质 （１）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 １）在正弦函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象 中，五个关键点是：（０，０）， π ２ ，（ ）１ ，（π， ０）， ３π ２ ，（ ）－１ ，（２π，０）． ２）在余弦函数狔＝ｃｏｓ狓，狓∈［０，２π］的图象 中，五个关键点是：（０，１）， π ２ ，（ ）０ ，（π，－１）， ３π ２ ，（ ）０ ，（２π，１）． （２）正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下 表中犽∈犣） 函数 狔＝ｓｉｎ狓 狔＝ｃｏｓ狓 狔＝ｔａｎ狓 图象 定义 域 犚 犚 狓狓∈犚｛ ， 狓≠犽π＋ π｝ ２ 续表 值域 ［－１，１］ ［－１，１］ 犚 周期性 ２π ２π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 ２犽π－ π ２ ［ ， ２犽π＋ π］ ２ ［－π＋２犽π， ２犽π］ 犽π－ π ２ （ ， 犽π＋ π） ２ 递减 区间 ２犽π＋ π ２ ［ ， ２犽π＋ ３π］ ２ ［２犽π， π＋２犽π］ 无 对称 中心 （犽π，０） 犽π＋ π ２ ，（ ）０ 犽π ２ ，（ ）０ 对称轴 方程 直线 狓＝犽π＋ π ２ 直线 狓＝犽π 无 　　注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距 离是犜 ２ ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离 是犜 ２ ；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心 距离是犜 ４ ． （３）狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的图象性质 类比于研究函数狔＝ｓｉｎ狓的性质，只需将函 数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）中的ω狓＋φ看成函数狔＝ ｓｉｎ狓中的狓，但在求狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）             的单调区 ·９９· 学习数学·领悟数学· !" 间时，要特别注意犃和ω的符号，通过诱导公 式先将ω化为正数．研究函数狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ） 和狔＝犃ｔａｎ（ω狓＋φ）的性质的方法与其类似，也 是进行类比、转化． 狔＝ｓｉｎ狓 狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） 周期 ２π ２π ω 定义域 犚 犚 最大值 １，当狓＝２犽π＋ π ２ 时取得 犃，当狓＝ ２犽π＋ π ２ －φ ω 时取得 最小值 －１，当狓＝２犽π ＋ ３π ２ 时取得 －犃，当狓＝ ２犽π＋ ３π ２ －φ ω 时 取得 单调 增 区间 ２犽π－ π ２ ［ ， ２犽π＋ π］ ２ ２犽π－ π ２ －φ ω ， ２犽π＋ π ２ －φ［ ］ ω 单调 减 区间 ２犽π＋ π ２ ［ ， ２犽π＋ ３π］ ２ ２犽π＋ π ２ －φ ω ［ ， ２犽π＋ ３π ２ －φ］ ω 续表 狔＝ｓｉｎ狓 狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） 对称轴 直线 狓＝犽π＋ π ２ 直线狓＝ 犽π＋ π ２ －φ ω 对称 中心 （犽π，０） 犽π－φ ω ，（ ）０ ２．狔＝ｓｉｎ狓与狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）转换 函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）的图象可以通过下列 两种方式得到： （１）狔＝ｓｉｎ狓 图象左移 → φ 狔＝ｓｉｎ（狓＋φ） 横坐标缩短到原来的 １ ω → 倍 狔 ＝ ｓｉｎ （ω狓 ＋ φ）． 纵坐标伸长为原来的犃 → 倍 狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） （２）狔＝ｓｉｎ狓 横坐标缩短到原来的１ ω → 倍 狔＝ｓｉｎ（ω狓） 图象左移φ → ω 狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ） 纵坐标伸长为原来的犃 → 倍 狔 ＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）． 关键　把握先移后缩和先缩后移的区别，类 比可以得到狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ），狔＝犃ｔａｎ（ω狓＋φ） 的图象． 结论　狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ１）→狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋ φ２），则平移单位为 ｜φ２－φ１｜ ω （注意平移方向）            ． !"¾¿\]‰ À¿\]‰ ¾Á \])nl%AB 例１ （２０２２·新高考Ⅰ卷）记函数犳（狓）＝ ｓｉｎω狓＋ π（ ）４ ＋犫（ω＞０）的最小正周期为犜，若 ２π ３ ＜犜＜π，且 狔＝犳（狓）的图象关于点 ３π ２ ，（ ）２ 中心对称，则犳 π（ ）２ ＝ （　　）