第4章 第2节 变换飕飕-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !２"#]^__ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 公式的直接应用与变形应用 Ⅲ 三角恒等变形求值 Ⅱ ２０２４年高考仍将重点考查三角恒等变换，同时要注意 公式的变形及应用，以及最值问题，题型仍为选择题 或填空题，难度为基础题或中档题． １．两角和与差的正余弦与正切 ①ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ； ②ｃｏｓ（α±β）＝ｃｏｓαｃｏｓβｓｉｎαｓｉｎβ； ③ｔａｎ（α±β）＝ ｔａｎα±ｔａｎβ １ｔａｎαｔａｎβ ． ２．二倍角公式 ①ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα； ②ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ ２ α－ｓｉｎ ２ α ＝２ｃｏｓ２α－１ ＝１－２ｓｉｎ２α； ③ｔａｎ２α＝ ２ｔａｎα １－ｔａｎ２α ． ３．辅助角公式 犪ｓｉｎα＋犫ｃｏｓα＝ 犪 ２＋犫槡 ２ｓｉｎ（α＋φ）其中ｓｉｎφ（ ＝ 犫 犪２＋犫槡 ２ ，ｃｏｓφ ＝ 犪 犪２＋犫槡 ２ ，ｔａｎφ ＝ 犫 犪 ， φ ＜ π）２ ．常见形式：ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝槡２ｓｉｎ狓＋π（ ）４ ， ｓｉｎ狓＋槡３ｃｏｓ狓＝２ｓｉｎ狓＋ π（ ）３ ，槡３ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝ ２ｓｉｎ狓＋ π（ ）６ ． 总结： （１）两角和与差正切公式变形 ｔａｎα±ｔａｎβ＝ｔａｎ（α±β）（１ｔａｎαｔａｎβ）； ｔａｎα·ｔａｎβ＝１－ ｔａｎα＋ｔａｎβ ｔａｎ（α＋β） ＝ ｔａｎα－ｔａｎβ ｔａｎ（α－β） －１． （２）降幂公式与升幂公式 ｓｉｎ２α＝ １－ｃｏｓ２α ２ ； ｃｏｓ２α＝ １＋ｃｏｓ２α ２ ； ｓｉｎαｃｏｓα＝ １ ２ ｓｉｎ２α； １＋ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ ２ α； １－ｃｏｓ２α＝２ｓｉｎ ２ α １＋ｓｉｎ２α＝（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２； １－ｓｉｎ２α＝（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２． （３）其他常用变式 ｓｉｎ２α＝ ２ｓｉｎαｃｏｓα ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ ２ α ＝ ２ｔａｎα １＋ｔａｎ２α ； ｃｏｓ２α＝ ｃｏｓ２α－ｓｉｎ ２ α ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ ２ α ＝ １－ｔａｎ２α １＋ｔａｎ２α ； ｔａｎ α ２ ＝ ｓｉｎα １＋ｃｏｓα ＝ １－ｃｏｓα ｓｉｎα           ． !"º@)»¼<=%w½<= 模型一：常见拆分角问题 ①α＝２· α ２ ； ②α＝（α＋β）－β； ③α＝β－（β－α）； ④α＝ １ ２ ［（α＋β）＋（α－β）］； ⑤β＝ １ ２ ［（α＋β）－（α－β）］； ⑥ π ４ ＋α＝ π ２ － π ４ －（ ）α ． 注意　特殊的角也看成已知角，如α＝ π    ４ ·６９· !?" ;<-.=4> ?@/0ABC － π ４ －（ ）α ． 模型二：（ｃｏｓα＋ｃｏｓβ） ２＋（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ） ２＝２ ＋２ｃｏｓαｃｏｓβ＋２ｓｉｎαｓｉｎβ＝２＋２ｃｏｓ（α－β）． 例１ （２０２２·全国乙卷）若ｓｉｎ（α＋β）＋ ｃｏｓ（α＋β）＝２槡２ｃｏｓα＋ π（ ）４ ｓｉｎβ，则 （　　） 　　 　 　　 　 　　　　 　　Ａ．ｔａｎ（α－β）＝１ Ｂ．ｔａｎ（α＋β）＝１ Ｃ．ｔａｎ（α－β）＝－１ Ｄ．ｔａｎ（α＋β）＝－１ 例２ （２０２１·全国乙卷）ｃｏｓ２π １２ －ｃｏｓ２ ５π １２ ＝ （　　） Ａ． １ ２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３ ２ 例３ （２０２２·浙江卷）若３ｓｉｎα－ｓｉｎβ＝槡１０， α＋β＝ π ２ ，则ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓ２β＝ ． 例４ （１）设ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝ １ ２ ，ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝ １ ３ ，则ｃｏｓ（α－β）的值为 ； （２）若α，β是锐角，且ｓｉｎα－ｓｉｎβ＝－ １ ２ ， ｃｏｓα－ｃｏｓβ＝ １ ２ ，则ｔａｎ（α－β）＝　　　　． 例５ （２０１３·全国Ⅰ卷）设当狓＝θ时，函 数犳（狓）＝ｓｉｎ狓－２ｃｏｓ狓取得最大值，则ｃｏｓθ ＝　　　　．  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 １．一看角，二看函数名，三看结构 特征． ２．弦切互化，异名化同名、异角化 同角、降幂升幂． ３．常值代换，公式的变形与逆用． 训练１ （２０２３·新高考Ⅰ）已知ｓｉｎ（α－β） ＝ １ ３ ，ｃｏｓαｓｉｎβ＝ １ ６ ，则ｃｏｓ（２α＋２β）＝ （　　） Ａ． ７ ９ Ｂ． １ ９ Ｃ．－ １ ９ Ｄ．－ ７ ９ 训练２ （２０２３·新高考Ⅱ）