第4章 第1节 公式悠悠-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!４" 犛犃犖犑犐犃犗犎犃犖犛犎犝犡犐犖犢犐犕犃犖 犑犐犈犡犐犜犝犡犐犖犌犣犎犈犖犌犢犝犡犐犃犖 FG01H>I(JKLMNOP !１"#Z[\\ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 三角函数基本概念 Ⅰ 同角三角函数基本关系与齐次式 Ⅲ 诱导公式 Ⅱ ２０２４年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及 诱导公式，同时要注意三角函数定义的复习，题型 仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题． １．三角函数基本概念 （１）角的概念 １）任意角：①定义：角可以看成平面内一条 射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和 零角． ２）所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是犛＝ββ＝犽·３６０°＋α，犽∈｛ ｝犣 ． ３）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始 边与狓轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几 象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （４）象限角的集合表示方法 （２）弧度制 １）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做１弧度的角，用符号“ｒａｄ”表示，读作“弧 度”．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是０． ２）角度制和弧度制的互化： １８０°＝πｒａｄ，１°＝ π １８０ ｒａｄ，１ｒａｄ＝ １８０° π ． ３）扇形的弧长公式：犾＝ α ·狉，扇形的面 积公式：犛＝ １ ２ 犾狉＝ １ ２ α ·狉２． （３）任意角的三角函数 １）定义：任意角α的终边与单位圆交于点 犘（狓，狔）时，则ｓｉｎα＝狔，ｃｏｓα＝狓，ｔａｎα＝ 狔 狓 （狓 ≠０）． ２）推广：在三角函数坐标法定义中，若取点 犘（狓，狔）是角α终边上异于顶点的任一点，设点 犘到原点犗的距离为狉，则ｓｉｎα＝ 狔 狉 ，ｃｏｓα＝ 狓 狉 ， ｔａｎα＝ 狔 狓 （狓≠０）． 三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 ｓｉｎα 犚 ＋ ＋ － － ｃｏｓα 犚 ＋ － － ＋ ｔａｎα α｜α≠犽｛ π ＋ π ２ ，犽∈ ｝犣 ＋ － ＋              － ·１９· 学习数学·领悟数学· !" 　　记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规 律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （３）三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点犘， 过犘作犘犕⊥狓轴，垂足为犕，过犃（１，０）作单 位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交 于点犜． 三角函数线 　　有向线段犕犘为正弦线；有向 线段犗犕 为余弦线；有向线段犃犜 为正切线． ２．同角三角函数基本关系与齐次式 （１）同角三角函数的基本关系 １）平方关系：ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１． ２）商数关系： ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ｔａｎα（α≠ π ２ ＋犽π）． 规律：利用ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１可以实现角α的 正弦、余弦的互化，利用ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ｔａｎα可以实现角 α的弦切互化． （２）方程思想知一求二 （ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝１ ＋ｓｉｎ２α； （ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α－２ｓｉｎαｃｏｓα＝１ －ｓｉｎ２α； （ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＋（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝２． 【注意】ｓｉｎα＋ｃｏｓα与ｓｉｎα－ｃｏｓα的符号由 ｓｉｎαｃｏｓα决定． ①若ｓｉｎαｃｏｓα＞０，则α在第一、三象限； ②若ｓｉｎαｃｏｓα＜０，则α在第二、四象限． （３）同角三角函数其次式 １）弦切互化法：主要利用公式ｔａｎ狓＝ ｓｉｎ狓 ｃｏｓ狓 进行切化弦或弦化切． ２） 犪ｓｉｎ狓＋犫ｃｏｓ狓 犮ｓｉｎ狓＋犱ｃｏｓ狓 同除以ｃｏｓ狓得：犪ｓｉｎ２狓＋ 犫ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＋犮ｃｏｓ２狓，除以１，再除以ｃｏｓ２狓等类 型可进行弦化切． ３．三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ２犽π＋α （犽∈犣） π＋α －α π－α π ２ －α π ２ ＋α 正弦 ｓｉｎα －ｓｉｎα －ｓｉｎα ｓｉｎα ｃｏｓα ｃｏｓα 余弦 ｃｏｓα －ｃｏｓα ｃｏｓα －ｃｏｓα ｓｉｎα －ｓｉｎα 正切 ｔａｎα ｔａｎα －ｔａｎα －ｔａｎα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数 名 改 变， 符号看象限 　　【记忆口诀】“奇变偶不变，符号看象限”中 的奇、偶是指犽·π ２ ±α（犽∈犣）中的犽是奇数还 是偶数． 当犽为奇数时，函数发生改变，如ｃｏｓθ变 成ｓｉｎθ；当犽为偶数时，函数不发生改变，如 ｃｏｓθ仍是ｃｏｓθ                 ． !"-®\]./‹Œ