第3章 第4节 综合拔尖-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

第③章 面数将尽意阐珊号数人间四月天 第4节 综合拔尖 考点频率 考点 出现频率 2024年预测 零点存在性、隐零点代换 指数找朋友、对数独行侠 II 2024年高考仍然重点考查恒成立问题、零点与极值点 II 指数三角放缩应用 问题,特别注意指对、三角、数列与导数的结合,隐 零点代换作为解题常用工具,解答题要注意“高观点低 导数与数列放缩应用 运算”,注意大题的处理技巧,这样可以减少计算量; 必要探路与主元法 降低时间成本. 极值点偏移、多变量问题 II 基础知识诊断 回顾教材 务实基础 知梳 导式子中含有lnc,这类问题需要多次求导,处 考点 零点存在性隐零点代换 理这类函数的技巧是将lnr前面部分提出,就留 隐零点工具介绍;隐形零点、设而不求 下lnr这个“独行侠”,然后研究剩余部分,这类 第一步:用零点存在性定理判定导函数零点 方法技巧叫“对数独行侠”. 的存在性,列出零点方程f'(x。)一0,并结合 2. 指数:加减变乘除 f(x)的单调性得到零点的范围; 设f(x)为可导函数,则有(e一f(x))'=e 第二步:以零点为分界点:说明导函数 一f’(x),若f(x)为非常数函数,求导式子中还 f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式 是含有e,针对此类型,可以采用作商的方法 第三步:求解问题 我们将其称为“隐形零点三步曲”,隐零点代 换的两个关键步骤是“虚设零点(并卡范围)”和 明和求最值的目的,总在找属于它的基友 “整体代换”. 此类方法技巧俗称“指数找基友”. 我们在利用导函数研究原函数/(x。)的极值 考点-三 指对三角放缩应用 时,有时我们虽然证明了导函数零点的存在,甚 1 指数切线放缩 至唯一,但是无法真正地把零点解出来,这时候 秘籍1 0线放缩 我们不得不将零点虚设为工,再利用导函数为 ①ex十1(切点横坐标是x=0,xR); 0. 得到关于隐零点x。的一个等式,利用它进行 ②ex十1(切点横坐标是x=0,x0); 代换,将我们所求的极值/(x。)中的表达式进行 化简,以便于我们接下来对f(x。)的大小或性质 进行研究. 秘籍2 1线放缩 考点-二 指数找朋友 对数独行侠 ①ex(切点横坐标是x-1,xER); ②eex(切点横坐标是x-1,xER); 工. 对数:乘除变加减 ③→*}+(切点横坐标是x=1,>1); 设f(x)为可导函数,则有(f(x)lnx)= .73. ④eer+(-D(=1.=0,>0) 有三角函数有界性sinz1,cosr 1. *2. 对数切线放缩 考点-四 导数与数列放缩 秘籍11线放缩 模型一:等差数列的裂项相消放缩 ln -1(也可以记为lnerx,切点(1.0)弓起的 -1 .1(n>2): 放缩);lnr>1-(用替换x,切点横坐标x-1), 7 ~(n-1)n-In -11 或者记为xlnrx-1;lnx x*-x(由lnr- n(n+1)nn1’ 11 -1-1(n2); 1及x-1<r*-x切点横坐标是x=1),或者记 1 n n(n-1)n-1” 1 为lnr-1. - 1-#(#)# -1 1线对数不等式链条: #-1-()(n2). #) -1,x0) 模型二:等比数列的裂项相消放缩 设a)是以a为首项,目公比为g的等比数 秘籍2 0线放缩 lnr+1) x(由lnr x-1向左平移一个单 位来理解). 7()< 秘籍3 e线放缩 lnr<.用替换x,切点横坐标是x-e. 模型三:已知数列a.满足 a=a。(a。+1),则1 a1a.(a.十1)aw 1-1-1 3. 三角函数放缩 1十a。 -11. 我们通常能够用到的是:sinx r对于x0 a) 恒成立,cosc→1-对于x→0恒成立;当然还 考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 零点存在性 隐零点代换 例2(2015·全国卷)设函数/(x)- 例1(湖北模拟)已知函数/(x)=ax十 -alnr. (1)讨论f(x)的导函数/(x)零点的个数; xnx的图象在点x三e(其中e为自然对数的底 数)处的切线的斜率为3. (1)求实数a的值; (2)若z,且一f) -1 对任意:>1恒成 立,求的最大值 8例3(2020·全国II卷)已知函数/(x)= -3r+ar+2,曲线y-f(x)在点(0,2)处的 切线与x轴交点的横坐标为一2. ·74· 第章 而数将尽意阑珊 导数人间四月天 (1)求a; 8训练1(淮北二模)已知函数f(x)-2-* (2)证明:当 1时,曲线y一f(x)与直线 -.十Inx. -r-2只有一个交点 (1)若函数f(x)在定义域内是增函数,求实 数a的取值范围; (2)当aE[1,e)时,讨论方程f(x)=ax 根的个数. 8例4(新课标卷)设函数/(c)-e-1-x -ar