第3章 第2节 单调成仙-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !２"#PQRS !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 单调性基础 Ⅲ 单调性讨论 Ⅲ 零点比大小 Ⅰ ２０２４年高考仍然重点利用导数研究函数的单调性、极 值与最值问题，难度可为基础题，也可为中档题，也 可为难题，题型为选择、填空或解答题． !"cdA.’[3 １．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数狔＝犳（狓）在 某个区间内可导，如果犳′（狓）＞０，则狔＝犳（狓）为 增函数；如果犳′（狓）＜０，则狔＝犳（狓）为减函数． ２．已知函数的单调性问题 ①若犳（狓）在某个区间上单调递增，则在该 区间上有犳′（狓）≥０恒成立（但不恒等于０）；反 之，要满足犳′（狓）＞０，才能得出犳（狓）在某个区 间上单调递增； ②若犳（狓）在某个区间上单调递减，则在该 区间上有犳′（狓）≤０恒成立（但不恒等于０）；反之 要满足犳′（狓）＜０，才能得出犳（狓）在某个区间上 单调递减． ,"“”cd}([3 ●类型一　不含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域（化简应先通分， 尽可能因式分解，定义域需要注意是否是连续的 区间）； 第二步：变号保留定号去（变号部分：导函 数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部 分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 第三步：求根做图得结论（如能直接求出导 函数等于０的根，并能作出导函数与狓轴位置关系 图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； 第四步：未得结论断正负（若不能通过第三 步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； 第五步：正负未知看零点（若导函数正负难 判断，则观察导函数零点）； 第六步：一阶复杂求二阶（找到零点后仍难 确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零 点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函 数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新 函数，对新函数再求导）； 第七步：借助二阶定区间（通过二阶导正负 判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数 正负区间段）； 第八步：综上所述得圆满． ●类型二　含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域 （化简应先通分， 然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注 意是否是一个连续的区间）； 第二步：变号保留定号去 （变号部分：导函 数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部 分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 第三步：恒正恒负先讨论 （变号部分因为参 数的取值恒正恒负）； 第四步：然后再求有效根； 第五步：根的分布来定参（此处需要从两方 面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关 系）； 第六步：导数图象定区间（作图原理同穿针 引线法解高次不等式）； 第七步：综上所述得圆满               ． ·８５· !?" +,)*456 7,+,89: !"cdA.’ 例１ （济南模拟）函数犳（狓）＝ １ ２ 狓２－９ｌｎ狓 的单调递减区间是 （　　） 　　 　 　　 　 　　　　 　　Ａ．（０，３） Ｂ．（－∞，３） Ｃ．（３，＋∞） Ｄ．（－３，３） 例２ （宁德模拟）已知函数犳（狓）＝２狓＋ 犪 狓＋１ ，若函数犳（狓）在区间［０，＋∞）上单调递 增，则实数犪的取值范围是 （　　） Ａ．犪≥０ Ｂ．犪≥２ Ｃ．犪＜２ Ｄ．犪≤２ 例３ （呼和浩特模拟）若函数犳（狓）＝ 狓３ ３ － 犪 ２ 狓２＋狓＋１在区间 １ ２ ，［ ］３ 上不单调，则实数犪 的取值范围是 （　　） Ａ．２， ５（ ）２ Ｂ．２， ５［ ）２ Ｃ．２， １０（ ）３ Ｄ．２， １０［ ）３  　  　  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 以上是单调问题常见题型“三剑客”， 即求单调、已知单调求参范围、已知不单 调求参范围，这里要注意一个细节，即是 否取等． 训练１ （２０２３·新高考Ⅱ）已知函数犳（狓） ＝犪ｅ狓－ｌｎ狓在区间（１，２）上单调递增，则犪的最 小值为 （　　） Ａ．ｅ２ Ｂ．ｅ Ｃ．ｅ－１ Ｄ．ｅ－２ 训练２ （兴庆模拟）若函数犳（狓）＝ｌｎ狓－ 犿 狓 在［１，３］上为增函数，则犿的取值范围为 （　　） Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．［－３，＋∞） Ｃ．［－１，＋∞） Ｄ．（－∞，－３］  　  　  　 