第3章 第1节 基础为先-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!３"　犎犃犖犛犎犝犑犐犃犖犌犑犐犖犢犐犔犃犖犛犎犃犖 犇犃犗犛犎犝犚犈犖犑犐犃犖犛犐犢犝犈犜犐犃犖 01<=>?@(A1B;CDE !１"#LMNO !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 导数的概念和几何性质 Ⅲ 八大同构函数 Ⅲ 三次函数的图象及其性质 Ⅱ 抽象函数构造（拓展提升） Ⅰ ２０２４年高考仍然重点考查利用导数的几何意义求函数 的切线，也可能考查三次函数的性质、抽象函数的构 造等．八大同构函数的性质及应用是学好求导的秘密 武器． !"Š])‹ŒŽAB １．概念 函数犳（狓）在狓＝狓０处瞬时变化率是ｌｉｍ Δ狓→０ Δ狔 Δ狓 ＝ ｌｉｍ Δ狓→０ 犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０） Δ狓 ，我们称它为函数狔＝犳（）狓 在狓＝狓０处的导数，记作犳′（狓０）或狔′ 狓＝狓０． 要点诠释： ① 增量Δ狓可以是正数，也可以是负数，但 是不可以等于０．Δ狓→０的意义：Δ狓与０之间 的距离要多近有多近，即 Δ狓－０ 可以小于给定 的任意小的正数； ②当Δ狓→０时，Δ狔在变化中都趋于０，但 它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个 常数与Δ狔 Δ狓 ＝ 犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０） Δ狓 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某 点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位 移在这一时刻的瞬间变化率，即犳′（狓０）＝ｌｉｍ Δ狓→０ Δ狔 Δ狓 ＝ｌｉｍ Δ狓→０ 犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０） Δ狓 ． ２．几何意义 函数狔＝犳（狓）在狓＝狓０处的导数犳′（狓０）的几 何意义即为函数狔＝犳（狓）在点犘（狓０，狔０）处的切 线的斜率．用导数研究切线问题，切点是关键． 三大基本关键点：①切点在切线上；②切点在曲 线上；③切点横坐标的导函数值为切线斜率． 犽＝犳′（狓０）＝ｔａｎα（α表示倾斜角，注意α等 于９０°的特殊情况）． ３．物理意义 函数狊＝狊（狋）在狋＝狋０处的导数狊′（狋０）是物体 在狋０时刻的瞬时速度狏，即狏＝狊′（狋０）；狏＝狏（狋） 在狋＝狋０的导数狏′（狋０）是物体在狋０时刻的瞬时加 速度犪，即犪＝狏′（狋０）． ,"Š])01 １．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 犳（狓）＝犮（犮为常数） 犳′（狓）＝０ 犳（狓）＝狓犪（犪∈犙） 犳′（狓）＝犪狓犪－１ 犳（狓）＝犪狓（犪＞０，犪≠１） 犳′（狓）＝犪狓ｌｎ犪 犳（狓）＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，犪≠１） 犳′（狓）＝ １ 狓ｌｎ犪 犳（狓）＝ｅ狓 犳′（狓）＝ｅ狓 犳（狓）＝ｌｎ狓 犳′（狓）＝ １ 狓 犳（狓）＝ｓｉｎ狓 犳′（狓）＝ｃｏｓ狓 犳（狓）＝ｃｏｓ狓 犳′（狓）＝－ｓｉｎ             狓 ·１５· 学习数学·领悟数学· !" ２．导数的四则运算法则 （１）函数和差求导法则 ［犳（狓）±犵（狓）］′＝犳′（狓）±犵′（狓）． （２）函数积的求导法则 ［犳（狓）犵（狓）］′＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓）． （３）函数商的求导法则 犵（狓）≠０，则 犳（狓） 犵（狓［ ］）′＝ 犳′（狓）犵（狓）－犳（狓）犵′（狓） ［犵（狓）］２ ． ３．复合函数求导数 复合函数狔＝犳［犵（狓）］的导数和函数狔＝ 犳（狌），狌＝犵（狓）的导数间关系为狔狓′＝狔狌′狌狓′． 如对于狔＝（３狓－１）２的求导，我们将分三步： ①将复合函数分解为基本初等函数 狔＝狌 ２ 狌＝３狓｛ －１； ②将狔对狌的导数记为狔′狌＝２狌，将狌对狓 的导数记为狌′狓＝３； ③狔′＝狔′狌·狌′狓＝２狌·３＝６（３狓－１）     ． !"Š])‹ŒŽAB 例１ （湖南模拟）若犳（狓）＝２狓犳′（２）＋狓２， 则犳′（１）＝ （　　） 　　 　 　　 　 　　　　 　　Ａ．－４ Ｂ．－６ Ｃ．２ Ｄ．４ 例２ （２０２２·新高考Ⅱ卷）曲线狔＝ｌｎ狓 过坐 标原点的两条切线的方程为　　　　，　　　　． 例３ （２０２１·全国甲卷）曲线狔＝ ２狓－１ 狓＋２ 在 点（－１，－３）处的切线方程为　　　　． 例４ （吉林模拟）设函数犳（狓）在定义域内 可导，狔＝犳（狓）的图象如图所示，则导函数狔＝ 犳′（狓）的图象为 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例５ （广东模拟）已知曲线犛：狔＝２狓－狓３， 则过点犃（１，１）并与曲线犛相切的直线方程 为 ． 例６ （深圳模拟）设点犘在曲线狔＝ １ ２ ｅ狓 上，点犙在曲线狔＝ｌｎ（２狓）上，则 犘犙 最小值 为 （　　） Ａ．１－ｌｎ２ Ｂ．槡２（１－ｌｎ２） Ｃ．１＋ｌｎ２ Ｄ．槡２（１＋ｌｎ２）  　  　  　 