第2章 第5节 零点来凑-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" +,%&-./ 0('(123 !５"#EFGH !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 零点所在区间 Ⅲ 零点的个数 Ⅲ 内横外竖破解嵌套函数零点问题 Ⅰ ２０２４年高考仍将以方程解的个数、函数零点个 数、不等式整数解的个数、不等式恒成立与能成 立为载体考查函数的综合问题，同时考查数形结 合思想与转化化归思想，难度为中档或难题． １．函数的零点 （１）函数零点的定义 对于函数狔＝犳（狓）（狓∈犇），我们把使犳（狓） ＝０的实数狓叫做函数狔＝犳（狓）（狓∈犇）的零点． （２）零点存在性定理 一般地，如果函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上 的图象是连续不断的一条曲线，并且有犳（犪）犳（犫） ＜０，那么函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内有零点， 即存在犮∈（犪，犫），使得犳（犮）＝０，这个犮也就 是犳（狓）＝０的根． （３）相关结论 ①若连续不断的函数犳（狓）在定义域上是单 调函数，则犳（狓）至多有一个零点； ②连续不断的函数犳（狓），其相邻的两个零 点之间的所有函数值同号； ③连续不断的函数犳（狓）通过零点时，函数 值不一定变号； ④连续不断的函数犳（狓）在闭区间［犪，犫］上 有零点，不一定能推出犳（犪）犳（犫）＜０． ２．二分法 （１）对于在区间 ［犪，犫］上连续不断且 犳（犪）·犳（犫）＜０的函数狔＝犳（狓），通过不断把函 数犳（狓）的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的 方法叫做二分法． （２）对于给定精确度ε，利用二分法求函数 犳（狓）零点近似值的步骤如下： ①确定区间［犪，犫］，验证犳（犪）犳（犫）＜０，给 定精确度ε； ②求区间（犪，犫）的中点犮； ③计算犳（犮）； 犪．若犳（犮）＝０，则犮就是函数的零点； 犫．若犳（犪）犳（犮）＜０，则令犫＝犮（此时零点狓０ ∈（犪，犮））； 犮．若犳（犫）犳（犮）＜０，则令犪＝犮（此时零点狓０ ∈（犮，犫））． ④判断是否达到精确度ε，即：若犪－犫 ＜ε， 则得到零点近似值犪（或犫），否则重复②③④． ３．二次函数图象与零点的关系 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数狔 ＝犪狓２＋犫狓 ＋犮（犪＞０） 的图象 零点个数 两个零点 一个零点 无零点 与狓轴交点 （狓１，０） （狓２，０） （狓１，０） 无交点 ４．嵌套函数（复合函数零点问题） 在某些情况下，我们可能需要将某函数作为 另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数． 在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌 套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫 递归嵌套               ． ·３４· 学习数学·领悟数学· !" !"yz{|}( 例１ （深圳模拟）用二分法研究函数犳（狓）＝ 狓３＋３狓－１的零点时，第一次经计算犳（０）＜０， 犳（０．５）＞０，可得其中一个零点狓０∈　　　，第 二次应计算的犳（狓）的值为犳（　　　）． 例２ （朝阳模拟）函数犳（狓）＝狓３－狓－７的 零点所在的区间是 （　　） 　 　　　　　 　　　 　　　Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） 例３ （安徽模拟）已知函数犳（狓）＝３狓＋狓， 犵（狓）＝ｌｏｇ３狓＋狓，犺（狓）＝狓３＋狓的零点依次为 犪，犫，犮，则犪，犫，犮的大小关系为 （　　） Ａ．犪＜犫＜犮 Ｂ．犪＜犮＜犫 Ｃ．犪＞犫＞犮 Ｄ．犮＞犪＞犫  　  　  　  　  　  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 １．对于简单的基本初等函数，可以先 解方程，判断所得根是否落在给定区间上． ２．利用犳（犪）·犳（犫）＜０判断函数零 点区间时，需要判断函数在［犪，犫］上是否 连续． 训练１ （广西模拟）函数犳（狓）＝５狓＋狓－１９ 的零点所在的区间为 （　　） Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） 训练２ （四川模拟）若犪＜犫＜犮，则犳（狓）＝ （狓－犪）（狓－犫）＋（狓－犫）（狓－犮）＋（狓－犮）·（狓－犪） 的两个零点分别位于区间 （　　） Ａ．（犪，犫）和（犫，犮）内　　 犅．（－∞，犪）和（犪，犫）内 Ｃ．（犫，犮）和（犮，＋∞）内 Ｄ．（－∞，犪）