第2章 第3节 初等函数-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !３"#?3@A !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 指数式的运算 Ⅰ 对数式的运算 Ⅱ 指数函数的定义及图象 Ⅱ 对数函数的定义及图象 Ⅱ 构造函数比大小 Ⅲ 幂函数及其性质 Ⅰ ２０２４年高考仍将重点考查指数与指数函数、对数与对 数函数这两个考点，考查利用指数运算、对数运算、 及指数函数的图象与性质、对数函数图象与性质比较 大小，处理单调性，解不等式等问题，难度为中档题． １．指数及指数运算 （１）根式的定义 一般地，如果狓狀＝犪，那么狓叫做犪的狀次 方根，其中狀＞１，狀∈犖，记为 狀 槡犪，狀称为根指 数，犪称为根底数． （２）根式的性质 当狀为奇数时，正数的狀次方根是一个正 数，负数的狀次方根是一个负数． 当狀为偶数时，正数的狀次方根有两个，它 们互为相反数，负数没有狀次方根． （３）指数的概念 指数是幂运算犪狀（犪≠０）中的一个参数，犪为 底数，狀为指数，指数位于底数的右上角，幂运 算表示指数个底数相乘． （４）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂犪 狀＝犪·犪·犪·…· 烉烇 烋 犪 狀个 （狀∈ 犖）； ②零指数幂犪 ０＝１（犪≠０）； ③负整数指数幂犪 －狀＝ １ 犪狀 （犪≠０，狀∈犖）； ④０的正分数指数幂等于０，０的负分数指 数幂没有意义． （５）有理数指数幂的性质 ①犪 犿犪狀＝犪犿＋狀（犪＞０，犿，狀∈犙）； ②（犪犿）狀＝犪犿狀（犪＞０，犿，狀∈犙）； ③（犪犫）犿＝犪犿犫犿（犪＞０，犫＞０，犿∈犙）； ④ 狀 犪槡 犿＝犪 犿 狀（犪＞０，犿，狀∈犙）． （６）注意事项 对于根式记号 狀 槡犪，要注意以下几点： ①狀∈犖，且狀＞１； ②当狀是奇数，则 狀 犪槡狀＝犪；当狀是偶数，则 狀 犪槡狀＝犪 ＝ 犪，犪≥０ －犪，犪＜｛ ０； ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零； ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问 题，需要先写成指数形式： 例： 犪 犪槡槡槡 犪 ＝犪 １ ２犪 １ ４犪 １ ８＝犪 １ ２＋ １ ４＋ １ ８＝犪 ７ ８； ４ 犪３ 犪槡槡 ２ ＝犪 １ ４·犪 ２ ３× １ ４＝犪 ５ １２． ⑥指数的逆运算过程： ５ １（ ）１６ － １ ２ ＝ ８１（ ）１６ － １ ２ ＝ ３（ ）２［ ］ ４ － １ ２ ＝ ３（ ）２ ４× － １（ ）２ ＝ ４ ９ ． ２．对数式的运算 （１）对数的定义：一般地，如果犪狓＝犖（犪＞０ 且犪≠１），那么数狓叫做以犪为底犖 的对数，记 作狓＝ｌｏｇ犪犖，读作以犪为底犖 的对数，其中犪 叫做对数的底数，犖叫做真数． （２）常见对数 ①一般对数：以犪（犪＞０且犪≠１）为底，              记 ·０３· !?" +,%&-./ 0('(123 为ｌｏｇ犪犖，读作以犪为底犖 的对数； ②常用对数：以１０为底，记为ｌｇ犖； ③自然对数：以ｅ为底，记为ｌｎ犖． （３）对数的性质和运算法则 ①特殊对数：ｌｏｇ犪１＝０；ｌｏｇ犪 ＝１；其中犪 ＞０且犪≠１； ②对数恒等式：犪ｌｏｇ犪犖＝犖（其中犪＞０且犪≠ １，犖＞０）； ③对数换底公式：ｌｏｇ犪犫＝ ｌｏｇ犮犫 ｌｏｇ犮犪 ． 如：ｌｏｇ５７＝ ｌｏｇ２７ ｌｏｇ２５ ＝ ｌｇ７ ｌｇ５ ＝ ｌｎ７ ｌｎ５ ． （４）对数的运算法则 ①外和内乘原理：ｌｏｇ犪 （犕犖）＝ｌｏｇ犪犕 ＋ｌｏｇ犪犖； ②外差内除原理：ｌｏｇ犪 犕 犖 ＝ｌｏｇ犪犕－ｌｏｇ犪犖； ③提公次方法：ｌｏｇ犪犿犫狀＝ 狀 犿 ｌｏｇ犪犫（犿，狀∈犚）； ④“指中有对，没心没肺”：犪ｌｏｇ犪犫＝犫和 ｌｏｇ犪 犫＝犫　如：ｌｏｇ３８１＝ｌｏｇ３ ４＝４，２ｌｏｇ２５＝５． （５）换底公式和对数运算的一些方法 ①常用换底：ｌｏｇ犪犫＝ ｌｏｇ犮犫 ｌｏｇ犮犪 ； 如：ｌｏｇ５７＝ ｌｏｇ２７ ｌｏｇ２５ ＝ ｌｇ７ ｌｇ５ ＝ ｌｎ７ ｌｎ５ ； ②倒数原理：ｌｏｇ犪犫＝ １ ｌｏｇ犫犪 ，如：ｌｏｇ３２＝ １ ｌｏｇ２３ ； ③约分法则：ｌｏｇ犪犫·ｌｏｇ犫犮＝ｌｏｇ犪犮； 如：ｌｏｇ２３·ｌｏｇ３４＝ｌｏｇ２４＝２； ｌｏｇ３１５·ｌｏｇ５７·ｌｏｇ１５ ·ｌｏｇ７３＝１； ④归一法则：ｌｇ２＋ｌｇ５＝１ｌｇ２·ｌｇ５＋ｌｇ２２ ＋ｌｇ５＝ｌｇ２ｌｇ５＋ｌｇ（ ）２ ＋ｌｇ５＝ｌｇ５＋ｌｇ２＝１． ３．指数函数的定义及图象 狔＝犪 狓 ０＜犪＜１ 犪＞１ 图象 续表 性质 ①定义域犚，值域（０，＋∞） ②犪 ０＝１，即狓＝０时，狔＝１，图象都经过（０， １）点 ③犪 狓＝犪，即狓＝１时，狔等于底数犪 ④在定义域上是单调减 函数 在定义域上是单调增 函数 ⑤狓＜０时，犪狓＞１；狓 ＞０时，０＜犪狓＜１ 狓＜０时，０＜犪狓＜１；狓 ＞０时，犪狓＞