第2章 第2节 性质兼修-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !２"#;<=> !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 函数的单调性及其应用 Ⅲ 函数的奇偶性及其应用 Ⅲ 函数的对称性与周期性 Ⅲ 抽象函数 Ⅰ ２０２４年高考仍重点考查函数的基本性质，特别是对图 象问题、求解参数范围问题、抽象函数问题等的考查． １．函数的单调性 （１）狓１ 与狓２ 的任意性：任意即所有，不可 以随便取两个特殊值，如函数狔＝狓２，取狓１＝ －１，狓２＝２，有犳（２）＞犳（－１），但狔＝狓２在犚 上不是增函数． （２）狓１与狓２的同区间性：狓１与狓２必须在同 一变化区间内取值． （３）定义域是函数的整体性质，单调性是函 数的局部性质．若函数单调区间不止一个时，不 能用“∪”书写，需要用“，”或“和”隔开．例如， 犳（狓）＝ １ 狓 的定义域为（－∞，０）∪（０，＋∞）， 单调递减区间为（－∞，０），（０，＋∞）． （４）等价定义 ①狓１，狓２∈犇，若（狓１－狓２）［犳（狓１）－ 犳（狓２）］＞０，则犳（狓）在区间犇上是增函数； 狓１，狓２∈犇，若（狓１－狓２）［犳（狓１）－犳（狓２）］ ＜０，则犳（狓）在区间犇上是减函数； ②狓１，狓２∈犇，且狓１≠狓２，若 犳（狓１）－犳（狓２） 狓１－狓２ ＞０，则犳（狓）在区间犇上是增函数； 狓１，狓２∈犇，且狓１≠狓２，若 犳（狓１）－犳（狓２） 狓１－狓２ ＜ ０，则犳（狓）在区间犇上是减函数． ２．函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数犳（狓）的定义域内任 意一个狓，都有犳（－狓）＝犳（狓）， 那么函数犳（狓）就叫做偶函数 关于狔 轴 对称 奇函数 如果对于函数犳（狓）的定义域内任 意一个狓，都有犳（－狓）＝－犳（狓）， 那么函数犳（狓）就叫做奇函数 关于原点 对称 　　判断犳（－狓）与犳（狓）的关系时，也可以使用 如下结论：如果犳（－狓）－犳（狓）＝０或 犳（－狓） 犳（狓） ＝ １（犳（狓）≠０），则函数犳（狓）为偶函数；如果犳（－狓） ＋犳（狓）＝０或 犳（－狓） 犳（狓） ＝－１（犳（狓）≠０），则函数 犳（狓）为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇 偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 狓，－狓都在定义域内（即定义域关于原点对称）． ３．函数的对称性 （１）若函数狔＝犳（狓＋犪）为偶函数，则函数狔 ＝犳（狓）关于狓＝犪对称． （２）若函数狔＝犳（狓＋犪）为奇函数，则函数狔 ＝犳（狓）关于点（犪，０）对称． （３）若犳（狓）＝犳（２犪－狓），则函数犳（狓）关于狓 ＝犪对称． （４）若犳（狓）＋犳（２犪－狓）＝２犫，则函数犳（狓）关 于点（犪，犫）对称              ． ·２２· !?" +,%&-./ 0('(123 ４．函数的周期性 （１）周期函数 对于函数狔＝犳（狓），如果存在一个非零常数犜， 使得当狓取定义域内的任何值时，都有犳（狓＋犜）＝ 犳（狓），那么就称函数狔＝犳（狓）为周期函数，称犜 为这个函数的周期． （２）最小正周期 如果在周期函数犳（狓）的所有周期中存在一 个最小的正数，那么称这个最小正数叫做犳（狓） 的最小正周期   ． !"\])cdAKL<= ●角度１　定义法证明函数单调性的步骤 （１）取值：设狓１，狓２ 是犳（狓）定义域内一个 区间上的任意两个量，且狓１＜狓２． （２）变形：作差变形（变形方法：因式分解、 配方、有理化等）或作商变形． （３）定号：判断差的正负或商与１的大小 关系． （４）得出结论． 例１ 已知函数犳（狓）＝狓－ １ 狓 ，狓∈（０， ＋∞），判断该函数的单调性并说明理由．  　  　  　  　 ●角度２　函数单调性的判断方法 （１）定义法 根据增函数、减函数的定义，按照“取值— 变形—判断符号—下结论”进行判断． （２）图象法 就是画出函数的图象，根据图象的上升或下 降趋势，判断函数的单调性． （３）直接法 就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二 次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调 区间． （４）记住几条常用的结论 ①若犳（狓）是增函数，则－犳（狓）为减函数； 若犳（狓）是减函数，则－犳（狓）为增函数； ②若犳（狓）和犵（狓）均为增（或减）函数，则在 犳（狓）和犵（狓）的公共定义域上犳（狓）＋犵（狓）为增 （或减）函数； ③若犳（狓）＞０且犳（狓）为增函数，则函数 犳（狓槡 ）为增函数， １ 犳（狓） 为减函数； ④若犳（狓）＞０且犳（狓）为减函数，则函数 犳（狓槡 ）为减函数， １