第1章 第5节 巧算均值-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" !"!"#$% &'#$()* !５" ,456 !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 利用基本不等式求最值 Ⅲ 利用基本不等式 解决实际问题 Ⅲ 基本不等式作为工具，常结合其他知识点进行考查， 如解析几何、函数求最值，实际应用等求范围题型， 难度为基础题或中档题． １．基本不等式 如果犪＞０，犫＞０，那么槡犪犫≤ 犪＋犫 ２ ，当且 仅当犪＝犫时，等号成立．其中， 犪＋犫 ２ 叫做犪，犫 的算术平均数，槡犪犫叫做犪，犫的几何平均数．即 正数犪，犫的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式１：若犪，犫∈犚，则犪２＋犫２≥ ２犪犫，当且仅当犪＝犫时取等号； 基本不等式２：若犪，犫∈犚＋，则 犪＋犫 ２ ≥ 槡犪犫（或犪＋犫≥２槡犪犫），当且仅当犪＝犫时取 等号． ２．两个基本不等式的异同 （１）两个基本不等式中实数犪，犫的取值范围 是不同的，运用第二个不等式时，犪，犫必须都 是正实数． （２）两个基本不等式中等号成立的条件：当 且仅当犪＝犫时取等号． （３）两个基本不等式的变形：这里的变形要 让学生理解是如何得来的，同时让学生试着去发 现探索这些不等式出现了哪些运算形式，如求 和、乘积、平方和、开方和等． 第一个不等式可变形为：犪２＋３犫２≥２犫（犪＋ 犫）或２犪２＋２犫２≥（犪＋犫）２，其中犪，犫∈犚； 第二个不等式可变形为：（槡犪＋槡犫） ２ ≥ ４槡犪犫或犪犫≤ 犪＋犫（ ）２ ２ ，其中犪，犫∈犚＋． （４）常用基本不等式２来求最值：当两个正 数犪，犫的积为定值时，由犪＋犫≥２槡犪犫可得： 当犪＝犫时，它们的和有最小值；当两个正数犪， 犫的和为定值时，由犪犫≤ 犪＋犫（ ）２ ２ 可得：当犪＝犫 时，它们的积有最大值，正所谓“积定和最　小　， 和定积最　大　”． 如：已知狓＞０，狔＞０． ①若狓＋狔＝狊（和为定值），则当狓＝狔时， 积狓狔取得最大值 狊２ ４ ； ②若狓狔＝狆（积为定值），则当狓＝狔时，和 狓＋狔取得最小值２槡狆． 注意：①此结论应用的前提条件是“一正” “二定”“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定” 指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号 成立的条件，即取等条件成立． ②连续使用基本不等式要注意取值条件一致            ． !"C=./>?@DVW ●角度１　常规配凑法 模型一：犿狓＋ 狀 狓 ≥２槡犿狀（犿＞０，狀＞０）， 当且仅当狓＝ 狀 槡犿时等号成立； 模型二：犿狓＋ 狀 狓－犪 ＝犿（狓－犪）＋ 狀 狓－犪 ＋犿犪   ≥ ·３１· 学习数学·领悟数学· !" ２槡犿狀＋犿犪（犿＞０，狀＞０），当且仅当狓－犪＝ 狀 槡犿 时等号成立； 模型三： 狓 犪狓２＋犫狓＋犮 ＝ １ 犪狓＋犫＋ 犮 狓 ≤ １ ２槡犪犮＋犫 （犪＞０，犮＞０），当且仅当狓＝ 犮 槡犪时等号成立； 模型四：狓（狀－犿狓）＝ 犿狓（狀－犿狓） 犿 ≤ １ 犿 · 犿狓＋狀－犿狓（ ）２ ２ ＝ 狀２ ４犿 犿＞０，狀＞０，０＜狓＜ 狀（ ）犿 ， 当且仅当狓＝ 狀 ２犿 时等号成立． 例１－１（２０２１·全国乙卷）下列函数中最小 值为４的是 （　　） Ａ．狔＝狓 ２＋２狓＋４ Ｂ．狔＝ ｓｉｎ狓 ＋ ４ ｓｉｎ狓 Ｃ．狔＝２ 狓＋２２－狓 Ｄ．狔＝ｌｎ狓＋ ４ ｌｎ狓 例１－２（２０２１·上海卷）已知函数犳（狓）＝３狓 ＋ 犪 ３狓＋１ （犪＞０）的最小值为５，则犪＝　　　　． 例１－３ （浙江模拟）若－４＜狓＜１，则狔＝ 狓２－２狓＋２ ２狓－２ 有 （　　） Ａ．最大值－１　　　　　Ｂ．最小值－１ Ｃ．最大值１ Ｄ．最小值１ 例１－４（２０２１·天津卷）已知犪＞０，犫＞０， 则１ 犪 ＋ 犪 犫２ ＋犫的最小值为 　　　　．  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 １．通过添项、拆项、变系数等方法凑 成和为定值或积为定值的形式． ２．注意验证取得条件． 训练１ （常熟检测）若狓＞２，则函数狔＝狓＋ ４ 狓－２ 的最小值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 训练２ （黄山一模）已知犳（狓）＝ 狓２＋３狓＋６ 狓＋１ （狓＞０），则犳（狓）的最小值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 训练３ （２０２０·山东卷）已知犪＞０，犫＞０， 且犪＋犫＝１，则 （　　） Ａ．犪２＋犫２≥ １ ２ Ｂ．２犪－犫＞ １ ２ Ｃ．ｌｏｇ２犪＋ｌｏｇ２犫＞－２ Ｄ．槡犪＋槡犫≤槡２ 训练４