第1章 第4节 趣用不等-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

学习数学·领悟数学· !" !４"#0123 !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 一元二次不等式的解法 Ⅲ 一元二次不等式与韦达 定理及判别式 Ⅱ 其他不等式解法 Ⅰ ２０２４年仍将与集合运算结合，重点考查一元二次不等 式解法与分段函数不等式的解法． １．一元二次不等式 （１）一元二次不等式的解法 犪狓２＋犫狓＋犮＞０意味着狔＝犪狓 ２＋犫狓＋犮中狔 ＞０部分，犪狓２＋犫狓＋犮＜０意味着狔＝犪狓２＋犫狓＋ 犮中狔＜０部分，犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓１）（狓－狓２） ＝０，求出两个根狓１，狓２；根据图象可知：开口 向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然． （２）一元二次不等式与韦达定理 模型一：已知关于狓的不等式犪狓２＋犫狓＋犮 ＞０的解集为（犿，狀）（其中犿狀＞０），解关于狓的 不等式犮狓２＋犫狓＋犪＞０． 由犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集为（犿，狀），得： 犪 １（ ）狓 ２ ＋犫 １ 狓 ＋犮＞０的解集为 １ 狀 ，１（ ）犿 ，即关 于狓 的 不 等 式犮狓２ ＋犫狓＋犪＞０ 的 解 集 为 １ 狀 ，１（ ）犿 ． 已知关于狓的不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集 为（犿，狀），解关于狓的不等式犮狓２＋犫狓＋犪≤０． 由犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集为（犿，狀），得： 犪 １（ ）狓 ２ ＋犫 １ 狓 ＋犮≤０的解集为 －∞， １（ ］狀 ∪ １ 犿 ，＋∞［ ），即关于狓的不等式犮狓２＋犫狓＋犪≤０ 的解集为 －∞， １（ ］狀 ∪ １ 犿 ，＋∞［ ）． 模型二：已知关于狓的不等式犪狓２＋犫狓＋犮 ＞０的解集为（犿，狀）（其中狀＞犿＞０），解关于狓 的不等式犮狓２－犫狓＋犪＞０． 由犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集为（犿，狀），得： 犪 １（ ）狓 ２ －犫 １ 狓 ＋犮＞０的解集为 － １ 犿 ，－ １（ ）狀 ， 即关于狓 的不等式犮狓２－犫狓＋犪＞０的解集 为 － １ 犿 ，－ １（ ）狀 ． 已知关于狓的不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集 为（犿，狀），解关于狓的不等式犮狓２－犫狓＋犪≤０． 由犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集为（犿，狀），得： 犪 １（ ）狓 ２ －犫 １ 狓 ＋犮≤０的解集为 －∞，－ １（ ］犿 ∪ － １ 狀 ，＋∞［ ），即关于狓的不等式犮狓２－犫狓＋犪 ≤０的解集为 －∞，－ １（ ］犿 ∪ － １ 狀 ，＋∞［ ）， 以此类推． （３）一元二次不等式与判别式 已知关于狓的一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮 ＞０的解集为犚，则一定满足 犪＞０ Δ＜ 烅 烄 烆 ０ ； 已知关于狓的一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮 ＞０的解集为，则一定满足 犪＜０ Δ≤ 烅 烄 烆 ０ ； 已知关于狓的一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮 ＜０的解集为犚，则一定满足 犪＜０ Δ＜ 烅 烄 烆 ０ ； 已知关于狓的一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋              犮 ·０１· !?" !"!"#$% &'#$()* ＜０的解集为，则一定满足 犪＞０ Δ≤ 烅 烄 烆 ０ ． ２．分式不等式的解法 分式不等式的求解主要在于同解变形，即将 不等式化为整式不等式来进行求解． 若犳 （狓） 犵（狓） ＜０，则 犳（狓）与 犵（狓）异号， 则犳（狓）犵（狓）＜０； 若犳 （狓） 犵（狓） ≤０，则 犳（狓）与 犵（狓）异号， 则犳（狓）犵（狓）≤０，且犵（狓）≠０； 若犳 （狓） 犵（狓） ＞０，则 犳（狓）与 犵（狓）同号， 则犳（狓）犵（狓）＞０； 若犳 （狓） 犵（狓） ≥０，则 犳（狓）与 犵（狓）同号， 则犳（狓）犵（狓）≥０，且犵（狓）≠０． 对于分式不等式犳１ （狓） 犵１（狓） ≤犺（狓），要将其移 项、通分化为犳 （狓） 犵（狓） ≤０的标准形式，这样我们就 可以将分式不等式化为整式不等式． ３．一元高次不等式的解法 数轴穿根法的注意点：当不等式中含有 （狓－犪）２狀时，运 用 标 根 法 不 穿 过 犪 点，而 （狓－犪）２狀－１则穿过犪点，俗称“奇穿偶不穿”． ４．无理不等式的解法 被开方式里含有未知数的不等式叫无理不 等式． 解无理不等式应根据不等式的性质将其先转 化为有理不等式组，然后再进行求解．在转化过 程中必须注意： （１）含有未知数的根式都有意义； （２）必须讨论不等式两边的符号； （３）不等式两边均为非负数时，才能同时进 行同次乘方，消去根号． 具体求解如下： 犳（狓槡 ）＞ 犵（狓槡 ） 犳（狓）≥０ 犵（狓）≥０ 犳（狓）＞犵（狓 烅 烄 烆 ） ； 犳（狓槡 ）＞犵（狓） 犳（狓）≥０ 犵（狓）≥０ 犳（狓）＞［犵（狓）］ 烅 烄 烆 ２ 或 犳（狓）≥０ 犵（狓）＜ 烅 烄 烆 ０ ； 犳（狓槡 ）＜犵（狓） 犳（狓）≥０ 犵（狓）＞０ 犳（狓）＜［