第1章 第3节 巧推关系-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

!?" !"!"#$% &'#$()* !３" ,-./ !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 不等式性质的应用 Ⅰ 利用不等式求范围 Ⅲ 糖水不等式（拓展提升） Ⅰ ２０２４年仍将与集合运算结合，重点考查一元二次不等 式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式多在解 析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题． １．比较大小基本方法 关系 方法 作差法 与０比较 作商法与１比较 犪＞犫 犪－犫＞０ 犪 犫 ＞１（犫＞０）或 犪 犫 ＜１（犫＜０） 犪＝犫 犪－犫＝０ 犪 犫 ＝１（犫≠０） 犪＜犫 犪－犫＜０ 犪 犫 ＜１（犫＞０）或 犪 犫 ＞１（犫＜０） ２．不等式的性质 （１）基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 犪＞犫犫＜犪；犪＜犫犫＞犪 可逆 传递性 犪＞犫，犫＞犮犪＞犮 犪＜犫，犫＜犮犪＜犮 同向 可加性 犪＞犫犪＋犮＞犫＋犮 可逆 可乘性 犪＞犫，犮＞０犪犮＞犫犮 犪＞犫，犮＜０犪犮＜犫犮 犮的正负 同向可加性 犪＞犫，犮＞犱犪＋犮＞犫＋犱 同向 同向同 正可乘性 犪＞犫＞０，犮＞犱＞０ 犪犮＞犫犱 同向同正 续表 性质 性质内容 注意 可乘方性 犪＞犫＞０，狀∈犖犪狀＞犫狀 同正 可开方性 犪＞犫＞０，狀∈犖 狀 槡犪＞ 狀 槡犫 同正 （２）倒数性质 ①犪＞犫，犪犫＞０ １ 犪 ＜ １ 犫 ； ②犪＜０＜犫 １ 犪 ＜ １ 犫 ； ③犪＞犫＞０，犱＞犮＞０ 犪 犮 ＞ 犫 犱 ； ④０＜犪＜狓＜犫或犪＜狓＜犫＜０ １ 犫 ＜ １ 狓 ＜ １ 犪 ． 拓展： （３）分数性质———糖水不等式 若犪＞犫＞０，犿＞０，则一定有 犫＋犿 犪＋犿 ＞ 犫 犪 ，或者 犪＋犿 犫＋犿 ＜ 犪 犫 ． 理解：通俗的理解就是犪克的不饱和糖水里含 有犫克糖，往糖水里面加入犿克糖，则糖水更甜． 证明：犫＋犿 犪＋犿 － 犫 犪 ＝ 犪犫＋犪犿－犪犫－犫犿 犪２＋犪犿 ＝ （犪－犫）犿 犪２＋犪犿 ＞０； 犪＋犿 犫＋犿 － 犪 犫 ＝ 犪犫＋犫犿－犪犫－犪犿 犫２＋犫犿 ＝－ （犪－犫）犿 犫２＋犫犿 ＜０               ． ·７· 学习数学·领悟数学· !" !">?@AB)<= 例１ （湖南模拟）已知犪＞犫，则下列不等 式中，正确的是 （　　） Ａ．犪２＞犫 ２ 　　　 　　Ｂ．犪 ＞犫 Ｃ．ｓｉｎ犪＞ｓｉｎ犫 Ｄ．２ 犪 ＞２ 犫 例２ （浙江模拟）已知犪，犫是实数，则“犪 ＞１且犫＞１”是“犪犫＋１＞犪＋犫”的 （　　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 例３ （２０１６·北京卷）已知狓，狔∈犚，且狓 ＞狔＞０，则 （　　） Ａ． １ 狓 － １ 狔 ＞０ Ｂ．ｓｉｎ狓－ｓｉｎ狔＞０ Ｃ． １（ ）２ 狓 － １（ ）２ 狔 ＜０ Ｄ．ｌｎ狓＋ｌｎ狔＞０ 例４ （２０２１·上海卷）已知两两不相等的 狓１，狔１，狓２，狔２，狓３，狔３，同时满足①狓１＜狔１， 狓２＜狔２，狓３＜狔３；②狓１＋狔１＝狓２＋狔２＝狓３＋狔３； ③狓１狔１＋狓３狔３＝２狓２狔２，以下哪个选项恒成立 （　　） Ａ．２狓２＜狓１＋狓３ Ｂ．２狓２＞狓１＋狓３ Ｃ．狓２２＜狓１狓３ Ｄ．狓 ２ ２＞狓１狓３  　  　  欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 欍 氥 氥氥 氥 　 【解题总结】 １．判断不等式是否恒成立，需要给 出推理或者反例说明． ２．充分利用基本初等函数性质进行 判断． ３．小题可以用特殊值法做快速判断． 训练１ （２０１９·全国Ⅱ卷）若犪＞犫，则 （　　） Ａ．ｌｎ（犪－犫）＞０ Ｂ．３犪＜３犫 Ｃ．犪３－犫３＞０ Ｄ．犪 ＞犫 训练２ （宁夏附中）已知犪，犫，犮满足犪＞犫 ＞犮，且犪犮＞０，则下列选项中一定能成立的是 （　　） Ａ．犪犫＞犪犮 Ｂ．犮（犫－犪）＞０ Ｃ．犪犫（犪－犮）＞０ Ｄ．犮犫２＞犮犪２  　  　  　 ,"C=>?@DEF 例１（广东模拟）若α，β满足－ π ２ ＜α＜β＜ π ２ ，则α－β的取值范围是 （　　） Ａ．－π＜α－β＜π Ｂ．－π＜α－β＜０ Ｃ．－ π ２ ＜α－β＜ π ２ Ｄ．－ π ２ ＜α－β＜０  　 