精品解析：山东省青岛第一中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测数学试卷

2023—2024学年度第二学期高一年级阶段性检测 数学试题 2024.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若将的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（ ）米. A. B. C. D. 8. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，均单位向量，且满足，则_________. 13. 已知点M是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为_________. 14. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则面积的最大值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，. （1）若四边形是平行四边形，求点D坐标； （2）若点A，B，P三点共线，且，求的值. 18. 已知内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为； ①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； ②求内角A的角平分线AD长的最大值． 19. 在平面直角坐标系中，锐角、终边分别与单位圆交于、两点． （1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、．求证：线段、、能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期高一年级阶段性检测 数学试题 2024.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后再求. 【详解】由，得：， 所以：，即：，故C项正确. 故选：C. 2. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向