精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

七宝中学2023-2024学年第二学期高一期中数学考试 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角终边经过点，则__________． 2. 已知，则__________. 3. 在中，已知，则 ________. 4. 的单调减区间为___________. 5. 若，则________． 6. 已知为一个单位向量，，若在上的投影为，则___________. 7. 已知函数的图象沿向量平移后为函数对应的图象，则与x轴正向单位向量的夹角为_____________. 8. 已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 9. 已知，，则______． 10. 已知方程，则当时，该方程所有实根的和为________． 11. 已知圆为锐角的外接圆，.若动点P可在圆O上任意移动，则的取值范围为______________. 12. 函数的最小正周期为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知是第三象限角，满足，则是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知角终边上点坐标，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 16. 已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 求证： （1）； （2）. 18. 已知平面向量，满足，，且. （1）求 （2）当实数为何值时，. 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时值． 20. 已知函数. （1）若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. （2）若函数在区间上严格单调递增，求取值范围. （3）若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 21. 已知，函数. （1）我们知道，向量数量积对加法的分配律，等价于向量往同一方向投影与求和可以交换次序.请借助以上后者的观点，写出的值域. （2）若的最大值为，求的最小值. （3）若的最大值为1，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2023-2024学年第二学期高一期中数学考试 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】设坐标原点为， 由题意可得：， 故. 故答案为：. 2. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 分析】利用诱导公式和余弦和两角和公式可得. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 3. 在中，已知，则 ________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】由余弦定理，得. 故答案为：2 4. 的单调减区间为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】先化简原函数解析式，再利用正弦函数的单调性结合整体代入法求单调减区间即可. 【详解】由于函数， 令解得 可得函数的减区间为 故答案为： 5. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可判定是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解. 【详解】因为，则， 所以是边长为2的正三角形， 所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍， 所以． 故答案为：. 6. 已知为一个单位向量，，若在上的投影为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由数量积的定义得到，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为为一个单位向量且， 所以，且， 所以在上的投影为， 所以，则. 故答案为： 7. 已知函数的图象沿向量平移后为函数对应的图象，则与x轴正向单位向量的夹角为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图象的平移变换得到，再设x轴的正向单位向量为，利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】因为， 所以要得到函数的图象， 则将函数的