2024年高考数学数列的求和方法达标练习

2024年高考数学数列的求和方法达标练习 一、单选题 1．若数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．4 4．已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．3 5．设数列满足，则的前项和（    ） A． B． C． D． 6．若数列满足，，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”，已知数列是数列的“均值数列”，且，设数列的前n项和为，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题 9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列，，，为等比数列 10．已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 11．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的 一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（    ） A．第行中从右到左的第个数是 B．第行中从左到右的第个数是， C．若第行中从左到右第与第个数的比为，则 D．阶(包括阶)杨辉三角的所有数的和为； 三、填空题 12．已知数列的前项和为，，，对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 13．设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列是首项为2，公差不为0的等差数列，且数列是“和等比数列”，则 ． 14．数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则 ． 四、解答题 15．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 16．已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和． 17．设数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)若数列的前项和为，证明：. 18．已知数列满足 (1)求证: 为等比数列； (2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和. 19．在（）个不同数的排列中，若时有（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．例如，三个数的排列中，因为，，称 7与3，7与4均构成逆序，而，3与4不构成逆序，于是排列的逆序数为2．记排列的逆序数为． (1)求，，，并写出的表达式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，证明． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由题意得和，进而利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以数列的前4n项和为. 故选：C． 2．C 【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围. 【详解】由数列的前n项和为且，得， 于是， 两式相减得：， 因此，，显然数列是递增数列， 当为奇数时，，由恒成立，得，则， 当为偶数时，，由恒成立，得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 3．C 【分析】由条件先确定数列的公比，结合等比数列求和公式可得，再结合求和公式求的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，， 则，与已知矛盾，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以. 故选：C. 4．B 【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿写作差后得到，进而得到，然后利用裂项相消法求出不等式左边的最大值即可. 【详解】因为， 所以，即， 即，则， 与上式作差后可得， 因为正项数列，所以， 所以， 因为，， 所以 ， 所以实数的最小值为， 故选：B. 5．C 【分析】利用递推关系即可得出,再利用等比数列求和公式求解. 【详解】当时，． 当时，， 可得，故当时，． 当时，不满足上式,故， 设的前项和为，当，； 当，，当，满足. 故的前项和为. 故选：C. 6．C 【分析】令，由题意可证得数列是等差数列，从而求得，再利用累加法求得，进而利用裂项相消法求即可得解. 【详解】因为对于都有， 则，令， 所以，又， 所