重难点10 轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点10 轻松解决空间几何体的体积问题 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：割补法 题型三：换底法 题型四：祖暅原理 【典型例题】 题型一：直接法 【典例1-1】（2024·高三·四川·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．    (1)证明：平面． (2)若，求四棱锥的体积． 【典例1-2】（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【变式1-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．    (1)若平面，求三棱锥的体积； (2)求证：． 题型二：割补法 【典例2-1】（2024·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【典例2-2】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（    ） A．4 B．6 C． D． 题型三：换底法 【典例3-1】（2024·高一·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【典例3-2】（2024·高三·四川成都·期末）如图，四棱锥中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，M是的中点，求三棱锥的体积. 【变式3-1】（2024·高三·全国·阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，. (1)证明：平面； (2)若，求五面体的体积. 题型四：祖暅原理 【典例4-1】（2024·高一·安徽合肥·期中）我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k．已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为，平面，且距离为h，若平面截圆柱体N所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以求出的比值，进而求出环体体积为 ． 【典例4-2】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于 . 【变式4-1】（2024·江西九江·二模）根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ．（注：） 【过关测试】 1．（2024·高二·贵州六盘水·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为