专题01 三角形的证明（考点串讲）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

八年级北师大版数学下册期中考点大串讲 串讲01 三角形的证明 技巧总结 01 02 04 05 03 目 录 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 考点透视 知识点一：等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 典例剖析 典例剖析 典例剖析 考点透视 知识点二：等边三角形 1.等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 2.等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 3.等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 典例剖析 典例剖析 典例剖析 考点透视 知识点三：直接三角形 1. 直角三角形全等的判定 （1）直角三角形全等一般判定定理： 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS) （2）直角三角形全等的HL判定定理： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL） 综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL. 2.直角三角形的性质 1. 定理：直角三角形的两个锐角互余； 2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 3. 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半； 4.推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 典例剖析 典例剖析 典例剖析 考点透视 知识点四：线段的垂直平分线 线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 典例剖析 典例剖析 典例剖析 考点透视 知识点五：角平分线 （1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （2）角的平分线有下面的性质定理： ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 典例剖析 典例剖析 典例剖析 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示中，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：，是等边三角形， ， ，是的一个外角， ， ，是的一个外角， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点；连结 ，交交于点，与 交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴；故①正确； ③∵（已证），∴，∵（已证）， ∴，∴，在与中， ，∴，∴；故③正确； ②∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴；故②正确； ④∵，∴，∵是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴．故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④．故选：D． 3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【详解】（1）证明：是的平分线， ，，，，，即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 4．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解： ，，， 在和中，，， ，，，， ， ， ，即， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 5．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，点A、B、C在一条直线上，和均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交 于点Q，