专题07 新定义综合（含数列、函数、集合等新定义）（40题难题）（5单选5多选5填空25大题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2024年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

专题07 新定义综合（含数列新定义、函数新定义、集合新定义） （40题难题）（5单选5多选5填空25大题） 一、单选题 1．（2024·浙江温州·二模）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．有最小值 2．（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·福建莆田·二模）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论： ①在区间上“优于”； ②在区间上“优于”； ③在区间上“优于”； ④若在区间上“优于”，则． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·全国·模拟预测）若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·浙江·一模）对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有． 则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（    ） A．为 B．为 C．若，则为 D．若为，则也为（为自然对数的底数） 7．（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（    ） A． B． C．若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则 D．若．则 8．（2024·全国·模拟预测）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．的图象关于轴对称 D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 9．（2024·全国·模拟预测）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（    ） A．的定义域为，其值域也是 B．在其定义域上单调递增，无极值点 C．不存在，使得方程有无数解 D．，当且仅当是素数时等号成立 10．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 三、填空题 11．（2024·北京·模拟预测）已知无穷数列满足：对任意，有，且.给出下列四个结论： ①存在无穷多个，使得； ②存在，使得； ③对任意，有； ④对任意，存在互不相同的，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 12．（2024·广西南宁·一模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列的前项和为，若，则称为“好数对”，如，，则都是“好数对”，当时，第一次出现的“好数对”是 ． 13．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 14．（2024·河北·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为 ；当时，满足条件的所有值的和 . 15．（2024·江西·一模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ． 四、解答题 16．（2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”. (1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式； (2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式； (3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 17．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B