山东省济宁市第一中学2024届高三下学期4月质量检测数学试卷

数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 二项式展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若圆和圆外离，则 B. 若圆和圆外切，则 C. 当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D 当时，圆和圆相交 10. 已知、都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为______. 13. 甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______. 14. 如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为______． 四、解答题（共77分） 15. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． （1）求证：当为中点时，平面； （2）若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置． 17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 18. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 19 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见详解 （2）是线段靠近点的四等分点 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司