2024年沪教版九年级中考数学C专题（中考冲刺：压轴题突破-动点产生的等腰三角形问题4星）

-------------动点产生的等腰三角形问题（★★★★） 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.通过观察了解因动点产生的等腰三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略； 3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力； 4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变； 5.掌握动点产生的等腰三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解． ( “ 知识结构 ” 这一部分的教学，可采用下面的策略： ) 1.本部分建议时长5分钟. 2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成. ( “ 典例精讲 ” 这一部分的教学，可采用下面的策略： ) 1.本部分建议时长20分钟. 2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题. 3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型. 4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题. 如图，在△ABC中，，，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，联结BG． 如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值．（★★★★） ( G E D C B A F ) 解答方法：通过已知与图像发现DG与DB均与AD有关系，所以可以设AD为4k，则DG=k，BD=10-4k，同时我们还可以通过DG∥EF知道∠BDG=∠A，并且∠A的 余弦值我们可以求得，于是当DG=DB时直接代入含k的代数式建立方程，当BG=BG、GD=GB时，均可用∠BDG的余弦值求解． 答案：作 在中，∴， ∴ ∴ 在中，, ①若,则，解得 ②若,则 解得 ∴ 如图，等腰梯形中，，=2，=8，．的顶点在边上移动，一条边始终经过点，另一边与交于点，联接AF． （1）设，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若为等腰三角形，求出的长．（★★★★） ( 备用图 ) 解答方法：通过观察图像特点，我们能发现在BC所在的直线上有三个相等的角，于是我们可以利用这个基本图形找到相似三角形△ABE∽△ECF，于是可以通过对应边成比例找到函数关系式，定义域需要注意主动点和被动点的位置条件；第二问可以看出△AEF三条边不是很好求，所以可以考虑角度，∠AEF=∠B，我们发现在等腰梯形中，∠B的余弦值可以求出，所以∠AEF的余弦值也可以求出，然后分别分类讨论时我们可以通过等腰三角形三线合一及∠AEF的余弦值可以第一问中两个相似三角形的相似比，从而转换到AB：EC，于是可以求解BE的长． 答案：(1) ∵AB=DC=5， ∴ 而 ∵ ∴ ∴△ABE∽△FEC ∴即 ∴ (2)分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos 若AE=AF，过点A作AG, 则有cos cos,即 ∵△ABE∽△BFC,∴ 即 解得x = 若AF=FE, 同理有 解得x =2 若AE=EF, 同理有5=8-x 解得x =3 ∵0， ∴当x=2,3, 时, △AEF为等腰三角形． 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E． （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．（★★★★） 图1 解答方法：1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长． 3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等． 4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标． 答案：（1）由于OD平分∠A