2024年沪教版九年级中考数学C专题（中考冲刺：压轴题突破-动点产生的等腰三角形问题3星）

-------------动点产生的等腰三角形问题（★★★） 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.通过观察了解因动点产生的等腰三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略； 3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力； 4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变； 5.掌握动点产生的等腰三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解． ( “ 知识结构 ” 这一部分的教学，可采用下面的策略： ) 1.本部分建议时长5分钟. 2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成. ( “ 典例精讲 ” 这一部分的教学，可采用下面的策略： ) 1.本部分建议时长20分钟. 2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题. 3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型. 4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题. ( A C B P Q )如图，在直角三角形ABC中，直角边．设分别为AB,BC上的动点，在点自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动.设移动的时间t秒．当为何值时，为等腰三角形？（★★★） 解答方法：1.由勾股定理求得AB=5cm，通过已知可以知道BP、BQ均能用t的代数式表示； 2.等腰三角形分类讨论：当△PBQ为等腰三角形时，分三种情况 ①当PB=PQ时，通过等腰三角形的三线合一性质，过点P作BQ的高PM，得到BM=QM，此时有RT△BPM，有两种方法：一是通过PM∥AC得到对应线段成比例，另外一种是通过∠B的余弦值求解； ②当BQ=BP时，直接求出t； ③当QB=QP时，同第一种情况． 答案：若是等腰三角形． 　　①如图，当 时，过点作的垂线， 垂足为，则有． ( A C B P Q M )　　方法一： 　　由，得， 　　∴．　　 　　∴，解得．　　 方法二： ( A C B P Q N )在中， ∴，解得．　　 ②当时，有，解得．　 ③如图，当时，自点向AB引垂线，垂足为． 由，得． ∴，解得．　　 如图，在直角梯形中，，,，．动点、分别从点、同时出发，动点沿射线的方向以每秒1个单位长的速度运动，动点在线段上以相同速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒）；联结BP、PQ，当能否为等腰三角形，请求出的值．（★★★） ( C D B A Q P ) ( C D B A 备用图2 ) ( C D B A 备用图1 ) 解答方法：1.过B点作BH⊥AD，通过已知求出BH、AH的长，然后我们发现BQ、PQ、PB都能用含t的代数式表示；2.等腰三角形分类讨论，分三种情况，分别是BQ=BP、PB=PQ、QB=QP，分别代入含t的代数式建立方程，解方程即可。 答案：如图：分别过点B、Q作AD的垂线BH、QG， 由已知得四边形CBGD为矩形； ( C D B A Q P G H )∴AG=AD-BG=AD-BC=6； 在RT△ABG中，由勾股定理得：； ∴QH=BG=8，PG=6-t，PH=DP-DH=DP-CQ=t-(6-t)=2t-6； 在RT△BGP中， 同理可得 ∵△BPQ是等腰三角形； ∴①当BQ=BP时，t=，解得t=； ②当PB=PQ，=，解得t=4或0（舍去） ③当QB=QP，t=，次方程无实数解． 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（★★★） 图1 解答方法：1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验． 2．由于O、B两点坐标已知，P点位置在已知的对称轴上，可以通过设点P的坐标，用P点坐标来表示OP、BP的长度，然后分类讨论即可，本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起． 答案：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，． 所以点B的坐标为． （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B，．解得． 所以抛物线的解析式为．