第五章 第二节 韦达向量积，原点非原点-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

第团章韦达的对称非对称 ●解析(1)设双曲线C的焦点F(6,0),剩F到直线：-2y=0的距离为1，尉=L,则c=3, 3 双曲线渐近线的韩率k=。=号，文公3，所以口=2,6=1，所以双曲线C的方程：艺 =1:双曲线的离心单e=9=6 4=2 2 (2)设直线：y=-之+u>0),4(国，)，B(,,联立 ,消去y,整理得x+ 22=1 4x-4(T+1)=0,则4=16产+16(2+1)>0，所以x,+x1=-41,1馬3=-4（产+1），所以k1·km x 4 本之×-4》+2 -4(r+1)一三-8，解得1 =1或1=-1（合去），所以需+=-4，西=-8，由直线1的方程：=1，金=0，y= L,所以x-西=V(+-4=V16+32=45,所以Sam=2×0×(￥，+西)= 号x00x-=号x1x4,万=2原，所以△0B的而瓶2， 1 第二节 韦达向量积，原点非原点 一、过原点的向量乘积问题 问题：椭圆与双曲线与直线y=x+m相交于A(x,y,),B(x2,)两点，0为坐标原点，求Oi ·Oi,设A(x1,),B(x·) 上正设：将y=+m代入号+卡=1得：（公+a)2+2tmr+dm2-a8=0 -2wkm(1） x1+2=62+ka 1·x2= 0 将y=+m代人号-若=1得：(-a)-2mr-a2-6=0 2a'km 5+56二01) ·2= a 0i,0i=x+y为=x名2+(x,+m)(k,+m)=(目+)x+km(名，+，)+m'(3) 将(1)(2)分别代入(3)得： 4■11271 色中餐学备思路 一圆鞋出线专题 0成.O成=公+a)m-a1+2(椭圆)） b+ka 0成·0亦=6-a)m2-,1+)(双曲线) 62-k2 之：将x=y+m代入5+2=1得：(a2+a2)y2+2my+m2- y1+y3= y1·y2= ay y+m代人号-影1得：(6T-a)护+26m+6(m- 2621m y+y2=- b27-a (1) y·y2= (m-(2 67-a2 0i.0i=xx+y2=y为2+(y,+m)(y+m)=(1+)2+m(+)+m(3) 将(1)(2)分别代入(3)得： 成，0亦=公+a)m-1+2(椭圆) a2+262 01.0亦.公-)-6a1+2(双曲线) b22-a2 经过椭圆号+y=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线，交椭圆于A、B两点，设0为坐标原 点，则Oi·0B等于 ●解析 2+)=1 0i:0庙=心+-0+：0+2420山-号 6+0 1+2 y=x-1 卫椭圆号 +长=1与直线x+y=1交于户，0两点，且0m1而，求号+京的值 团市.i-正+的0+.世+0山=084d27+ 6+a2 b+ka =2. 丽已知精圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率=只，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长 为2 (1)求椭圆的标准方程： (2)已知直线！与椭圆相交于P、Q两点，0为原点，且OP⊥OQ.试探究点0到直线1的距离 是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由。 团()号+y=1:(2)①当1纤车存在时，亦.0而=0=(2+m-601+码：0s 1121☐ 第五章韦达的对称非对称 品房以号 ②当1斜单不存在时，4=石蜂上，0到1的距离为定 3 3 药悬期*)已知双曲线C:。-会=1(a>0,b>0)的离心率为3 右焦点分别为F,F2,点P在双曲线C的右支上，且PF,|-PF,|=4. (1)求双曲线C的标准方程： (2)过点D(4,0)的直线I交双曲线C于A,B两点，且以AB为直径的圆过原点O,求弦 长AB: ●解析(1)双曲线C的左、右焦点分别为F,F,点P在双曲线G的右支上，且PF,-PF,=4, 由双曲线的定义可得PF,|一PF:=2a=4,解得：a=2,因为双曲线C的离心率为3，所以二 号=原，解得=2，周为心三民，所以=-心=8，改双南线C的标准方程为号-。= (2)当直线！的斜率为0时，此时A,B两点为双曲线的顶，点，故以AB为直径的回不过原点，不合题 意，舍去 直线（的钟奉不为0，则设直线：x=my+4,A(x,,),B(,:), =my+4. 联立 16m 24 父2。整理得(2m-1)y+16my+24=0,期+=2m-“2m- 48=1, 故x,x:=(m,+4)(m为+4)=myy2+4m(,+为)+16，周为以AB为直径的圆过原，点0，所以0丽 上0亦，所以0i·0市=，+y为=0，所以(m+1)y+4m(+)+16=0, 即（心+1224+4m216=0.化商荟理得8-8m=0,甲m 16m 则，-=√(y,+,-4=√16-4×24=410，枚AB=√m+1,-为|=2×410 =85,测孩长AB=85 日(2022秋·潮北翔本)已知双曲线C的焦点F(2