第四章 第六节 截口曲线的立体几何-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ １１４　 ■  分别是 ｄ１＝ 槡３ｘ１－ｙ１ ２ ，ｄ２＝ 槡３ｘ１＋ｙ１ ２ ，乘积 ｄ１ｄ２＝ ３ｘ２１－ｙ ２ １ ４ ＝３ ４ ，令 ｋＯＡ＝ｔａｎα＝槡３，ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝ ｓｉｎ１２０°＝槡３ ２ ，ＳＯＣＰＨ ＝ＳＯＤＱＥ ＝ ｄ１ｄ２ ｓｉｎ∠ＡＯＢ ＝槡３ ２ ，所以 ＣＰ ＣＭ ＝ ＤＱ ＤＭ ＝ ＳＯＣＰＦ ＳＯＣＭＤ ＝ ＳＯＤＱＥ ＳＯＣＭＤ ＰＱ∥ＣＤ，由于 ＭＡ ＝ ＭＢ，所以 Ｃ、Ｄ分别为 ＯＡ、ＯＢ中点，所以 ＰＱ∥ＣＤ∥ＡＢ． !v#$wx(1yXz{| 一、截口曲线形成的圆锥曲线 圆锥曲线就可以看作圆锥被一个平面所截得到的截口曲线． 如图，设圆锥的轴截面顶角为２θ，圆锥的轴与截面所成的角为 α，其中 α，θ∈ ０，π( )２ ． 当 α＞θ时，截口曲线为椭圆，平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点．；当 α＝θ时，截 口曲线为抛物线，平面一侧的圆锥内切球与平面的切点为焦点；当 α＜θ时，截口曲线为双曲线，平 面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点． （２０２２·多选·广东期末）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面 的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 θ不同时，可 以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物 线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为 α，截口曲线形状与 θ，α有如下关系： 当 θ＞α时，截口曲线为椭圆；当 θ＝α时，截口曲线为抛物线：当 θ＜α时，截口曲线为双曲 线．其中 θ，α∈ ０，π( )２ ，现有一定线段 ＡＢ，其与平面 β所成角 φ（如图），Ｂ为斜足，β上一 动点 Ｐ满足∠ＢＡＰ＝γ，设 Ｐ点在 β的运动轨迹是 Γ，则 （　　） 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．当 φ＝π４ ，γ＝π６ 时，Γ是椭圆 Ｂ．当 φ＝π３ ，γ＝π６ 时，Γ是双曲线 Ｃ．当 φ＝π４ ，γ＝π４ 时，Γ是抛物线 Ｄ．当 φ＝π３ ，γ＝π４ 时，Γ是圆 因为 ＡＢ为定线段，∠ＢＡＰ＝γ为定值，所以 Ｐ在以 ＡＢ为轴的圆锥上运动， 其中圆锥的轴截面半顶角为 γ，β与圆锥轴 ＡＢ的夹角为 φ， !:#$;<=>?@A ■■ １１５　 ■ 对于 Ａ，φ＞γ，所以平面 β截圆锥得椭圆，故 Ａ正确； 对于 Ｂ，φ＞γ，平面 β截圆锥得椭圆，故 Ｂ错误． 对于 Ｃ，φ＝γ，平面 β截圆锥得抛物线，故 Ｃ正确． 对于 Ｄ，φ＞γ，平面 β截圆锥得椭圆，故 Ｄ不正确．故选 ＡＣ． 如图 ＡＢ是平面 α的斜线段，Ａ为斜足，若点 Ｐ在平面 α内运动，使得△ＡＢＰ的面积为定值， 则动点 Ｐ的轨迹是 （　　） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．一条直线 Ｄ．两条平行直线 由于△ＡＢＰ的面积为定值，则点 Ｐ到直线 ＡＢ的距离不变，所以点 Ｐ在以 ＡＢ为轴的圆柱体的 表面上运动，因为点 Ｐ在平面 α内，所以问题就转化为圆柱被不平行于轴与底面的平面所截的截面 问题，用平面去截圆柱，截得的交线是椭圆，当然，也可以根据对称性，Ｐ在上下左右的距离都是 对称的，就是以 Ａ为对称中心的图形，但不是圆，排除 ＡＣＤ，因此选 Ｂ． 已知斜线段 ＡＢ与平面 α所成的角为６０°，Ｂ为斜足，平面 α上的动点 Ｐ满足∠ＰＡＢ＝３０°，则 点 Ｐ的轨迹是 （　　） Ａ．直线 Ｂ．抛物线 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线的一支 当点 Ｐ运动时，满足条件的 ＡＰ绕 ＡＢ旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥的高成 ６０°角的平面 去截圆锥，所得图形为椭圆．故选 Ｃ． 已知正四面体 ＡＢＣＤ，空间一动点 Ｐ满足 ＢＰ⊥ＡＤ，且△ＰＡＤ的面积为定值，则点 Ｐ的轨迹为 （　　） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 如图，根据正四面体性质，取 ＡＤ中点 Ｅ，连接 ＢＥ，ＣＥ．因为 ＡＢＣＤ为正四面体，所以 ＡＤ ⊥ＢＥ，ＡＤ⊥ＣＥ，所以 ＡＤ⊥平面 ＢＣＥ，又 ＢＰ⊥ＡＤ，所以点 Ｐ在平面 ＢＣＥ内， 因为△ＰＡＤ的面积为定值，可得点 Ｐ到直线 ＡＤ的距离为定值，故点 Ｐ在以 ＡＤ为轴的圆柱面上，由 于平面 ＢＣＥ与圆柱的轴垂直，故点 Ｐ的轨迹为圆．故选 Ｂ． 已知圆柱的轴截面 ＡＢＣＤ是边长为２的正方形，Ｍ为正方形 ＡＢＣＤ对角线的交点，动点 Ｐ在圆 柱下底面内（包括圆周）．若直线 ＡＭ与直线 ＭＰ所成的角为４５°，则点 Ｐ形成的轨迹为（　　） Ａ．椭圆的一部分 Ｂ．抛物线的一部分 Ｃ．双曲线的一部分 Ｄ．圆的一部分 因为直线 ＡＭ与直线 ＭＰ所成的角为４５°，所以直线 ＭＰ在以直线 ＡＭ为轴的圆锥面上，易得 点 Ｐ形成的轨迹为抛物线的一部分，故选 Ｂ． ■ １１６　 ■  设 ｍ是平面 α内的一条定直线，Ｐ是平面