第四章 第二节 再遇见大圆小圆-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!:#$;<=>?@A ■■ ９７　 ■ （２）ｋＡＢ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ ４（ｙ１－ｙ２） ｙ２１－ｙ ２ ２ ＝ ４ ｙ１＋ｙ２ ，故直线 ＡＢ方程为： ｙ－ｙ１＝ ４ ｙ１＋ｙ２ ｘ－ ｙ２１( )４ ，化简可得：（ｙ１＋ｙ２）ｙ＝４ｘ＋ｙ１ｙ２．由于直线 ＡＢ过 Ｑ（０，１），所以 ｙ１＋ｙ２ ＝ｙ１ｙ２ 同理：ＡＰ方程：（ｙ１＋２）ｙ＝４ｘ＋２ｙ１；ＢＰ方程：（２＋ｙ２）ｙ＝４ｘ＋２ｙ２，令 ｘ＝０，得 ｙＭ ＝ ２ｙ１ ２＋ｙ１ ，同理 可得 ｙＮ＝ ２ｙ２ ２＋ｙ２ ， １ λ ＋１ μ ＝ １ １－ｙＭ ＋ １ １－ｙＮ ＝ ２＋ｙ１ ２－ｙ１ ＋ ２＋ｙ２ ２－ｙ２ ＝ ８－２ｙ１ｙ２ （２－ｙ１）（２－ｙ２） ＝ ８－２ｙ１ｙ２ ４－２（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２ ＝ ８－２ｙ１ｙ２ ４－ｙ１ｙ２ ＝２，所以１ λ ＋１ μ ＝２，所以１ λ ＋１ μ 为定值． !,#$ghij&k& 一、以椭圆焦半径为直径的圆与大圆内切 证明：如图，以椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝（ａ＞ｂ＞０）为例，Ｆ１、Ｆ２分别为左、右焦点，以焦半径 ＰＦ１ 为直 径的圆 Ｍ，连结 ＯＭ并延长交圆 Ｍ于 Ｎ、连接 ＰＦ２ ，易知 ＯＭ ＝ １ ２ ＰＦ２ ， ＭＮ ＝ １ ２ ＰＦ１ ，所以 ＯＮ ＝１ ２ （ＰＦ１ ＋ ＰＦ２ ）＝ａ，所以以椭圆的焦半径为直径的圆必与大圆（以长轴为直径的圆）内切． 二、以双曲线焦半径为直径的圆与小圆相切（外切／内切） 　　　　　　　　 如左图，以双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）为例，Ｆ１、Ｆ２分别为左、右焦点，以焦半径 ＰＦ２ 为 直径的圆 Ｍ，连结 ＯＭ并与圆 Ｍ交于 Ｎ、连接 ＰＦ１ ，易知 ＯＭ ＝ １ ２ ＰＦ１ ， ＭＦ２ ＝ １ ２ ＰＦ２ ，所 以 ＯＮ ＝１ ２ （ＰＦ１ － ＰＦ２ ）＝ａ，因此，以双曲线的短焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径 的圆）外切． ■ ９８　 ■  如右图，以焦半径 ＰＦ１ 为直径的圆Ｍ，连结ＯＭ并反向延长交圆Ｍ于Ｎ、连接 ＰＦ２ ，易知 ＯＭ ＝ １ ２ ＰＦ２ ， ＭＦ１ ＝ １ ２ ＰＦ１ ，所以 ＯＮ ＝ １ ２ （ＰＦ１ － ＰＦ２ ）＝ａ，因此，以双曲线的长焦半径为直径 的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）内切． 三、以抛物线 ｙ２＝２ｐｘ的焦半径为直径的圆与 ｙ轴相切 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如图，以抛物线 ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）为例，Ｆ为焦点，以焦半径 ＰＦ为直径的圆 Ｍ，作 ＭＮ⊥ｙ轴于 Ｎ， ＰＦ ＝ｘ０＋ ｐ ２ ， ＭＮ ＝ｘＭ＝ ｘ０＋ ｐ ２ ２ ＝ ＰＦ ２ ，故以 ＰＦ为直径的圆 Ｍ和 ｙ轴相切． （２０２３·锦州模拟）已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，点 Ｐ是 Ｃ上一点，且 ＰＦ ＝５， 以 ＰＦ为直径的圆截 ｘ轴所得的弦长为１，则 ｐ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．２或４ Ｃ．４ Ｄ．４或６ 解法一：设以 ＰＦ为直径的圆与 ｘ轴交点为 Ａ，则 ＡＦ ＝１， ＰＦ ＝５，连接 ＰＡ，则∠ＰＡＦ＝ ９０°，所以 ＰＡ ＝ ＰＦ ２－ ＡＦ槡 ２ ＝ ５２－１槡 ２ ＝２槡６，所以 ｙＰ＝２槡６，把 ｙ＝２槡６代入 ｙ ２＝２ｐｘ，得 ｘ ＝１２ ｐ ，所以 ｘＰ＝ １２ ｐ ，所以 １２ ｐ － －ｐ( )２ ＝ ＰＦ，即１２ｐ＋ｐ２＝５，所以 ｐ２－１０ｐ＋２４＝０，解得 ｐ＝４或６， 解法二：易知 ＰＦ ＝ｘ０ ＋ ｐ ２ ＝５，以 ＰＦ为直径的圆与 ｙ轴相切， ＡＦ ＝ ｘ０－ ｐ ２ ＝１，解得： ｘ０＝３ ｐ{ ＝４或 ｘ０＝２ｐ{ ＝６，故选 Ｄ． （２０２３·多选·下城区期末）已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，Ｐ（ｘ０，ｙ０）是 Ｃ上位于 第一象限内的一点，若 Ｃ在点 Ｐ处的切线与 ｘ轴交于 Ｎ点，且∠ＦＰＮ＝３０°，则下列说法正确 的是 （　　） Ａ． ＰＦ ＝ｘ０＋ ｐ ２ Ｂ．以 ＰＦ为直径的圆与 ｙ轴相切 Ｃ． ＰＦ ＝２ ３ ｐ Ｄ．直线ＯＰ的斜率为２槡３ ３ （Ｏ为原点） !:#$;<=>?@A ■■ ９９　 ■ 由抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）可得Ｆ ｐ２ ，( )０，其准线方程为 ｘ＝－ｐ２，所以根据抛物线的定义 可得 ＰＦ ＝ｘ０＋ ｐ ２ ，故 Ａ正确， 以 ＰＦ为直径的圆的圆心为 (Ｍ ｘ０＋ ｐ ２ ２ ， ｙ０ )２ ，半径为 ＰＦ２ ＝ ｘ０ ２ ＋ｐ ４ ，所以圆心到 ｙ的距离等于半 径，即以 ＰＦ为直径的圆与 ｙ轴相切，故 Ｂ正确， Ｃ在点 Ｐ处的切线方程为 ｙｙ０＝ｐ（ｘ＋ｘ０），令 ｙ＝０可得 ｘ＝－ｘ０，所以 Ｎ（－ｘ０，０），所以 ＦＮ ＝ｘ０ ＋ｐ ２