第三章 第三节 对称化处理法，解题最佳-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ７６　 ■  解法二（长度语言）：令 ＰＦ１ ＝ｍ１， ＱＦ１ ＝ｍ２，∠ＰＦ１Ｆ２＝θ，则 ｍ１ｓｉｎθ ｃ－ｍ１ｃｏｓθ ＝ ｍ２ｓｉｎθ ｍ２ｃｏｓθ－ｃ ＝ｂ ａ ＝ｔａｎα，所以 ｍ１＝ ｂｃ ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ ｍ２＝ ｂｃ －ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓ      θ ， ＰＱ ＝ｍ２－ｍ１＝ ２ａｂｃｓｉｎθ ｃ２ｃｏｓ２θ－ａ２ ， ＭＦ１ ＝ ｍ１＋ｍ２ ２ ＝ ｂ ２ｃｃｏｓθ ｃ２ｃｏｓ２θ－ａ２ ＝２ｃｃｏｓθ，所以 ｂ２＝２（ｃ２ｃｏｓ２θ－４）①；且ｓｉｎ２θ＝ｂ ２ ２ｃ２ ② 由于 ２ ＯＰ · ＯＱ ＝ ＰＱ ２，根据极化恒等式， ＯＰ · ＯＱ ＝ ＯＰ ! ·ＯＱ! ｃｏｓ∠ＰＯＱ ＝ ＯＭ ２－ ＰＱ ２ ４ ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α ＝ ｃ２－ ＰＱ ２ ４ ｂ２ ａ２ －１ ｂ２ ａ２ ＋１ ＝ ＰＱ ２ ２ 所以 ｍ２－ｍ１( )２ ２ ＝ ４ｂ ２ｃ２ｓｉｎ２θ （ｃ２ｃｏｓ２θ－４）２ ＝８＝ ｃ ４ ３ｃ２－１６ ，ｃ２＝１６或 ｃ２＝８（此时 ｂ＝２矛盾），双曲线的离心率 ｅ ＝２．故答案为２． 注意：双曲线两条渐近线是退化的二次曲线来理解，那么两条渐近线之间也有类似于焦长公式 的计算公式，我们在这里给予总结，数形结合是很好推导的，令 θ为焦弦与 ｘ轴夹角． 　　　 （１）ＰＱ 交 双 曲 线 一 支 时， ＱＦ２ ｓｉｎθ ＱＦ２ ｃｏｓθ＋ｃ ＝ ｂ ａ ， 所 以 ＱＦ２ ＝ ｂｃ ａｓｉｎθ－ｂｃｏｓθ ， 同 理 ＰＦ２ ＝ ｂｃ ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ （２）参考例２８，ＰＱ交双曲线两支时，可得： ＰＦ１ ＝ ｂｃ ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ ＱＦ１ ＝ ｂｃ －ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓ      θ ， 区别仅仅是分母，考试时候可以直接推导，不需要强行记忆． !-#$_`abcJ) d96e 　　当离心率不是某个定值，而是一个范围，那么这类型就需要一个限定，我们总结一下离心率范 !)#$56789 ■■ ７７　 ■ 围限定得类型，很多问题需要对称化寻找最值． 一、短轴端点处∠Ｆ１ＰＦ２张角约束 这是我们之前就介绍过得内容，已知椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０的左、右两焦点分别为 Ｆ１、Ｆ２，若 椭圆上存在一点Ｐ，使得∠Ｆ１ＰＦ２＝θ，则椭圆离心率ｅ∈ ｓｉｎ θ ２ ，[ )１． 证明：如图，设 Ｂ１为椭圆的短轴顶点，假设椭圆上存在一点 Ｐ，使得∠Ｆ１ＰＦ２ ＝θ，则必有 ∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２≥θ，又 ｅ＝ｓｉｎ ∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２ ２ ，由于 θ ２≤ ∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２ ２ ＜π ２ ，故 ｅ∈ ｓｉｎθ２ ，[ )１． （２０２１·长春一模）已知 Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上的点，若满足∠Ｆ１ＰＦ２＝１２０° 的点 Ｐ恰好有４个，则此椭圆的离心率的取值范围是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ． ０，槡３( )２ Ｂ． 槡３２，( )１ Ｃ． ０，１( )２ Ｄ． １２，( )１ 当点 Ｐ恰好有４个，故有 ｓｉｎ６０°＜ｅ＜１（Ｐ不能为上下顶点），选 Ｂ． 已知椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的两个焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，若椭圆上存在点 Ｐ使得∠Ｆ１ＰＦ２是 钝角，则椭圆离心率的取值范围是 （　　） Ａ． ０，槡２( )２ Ｂ． ０，１( )２ Ｃ． 槡２２，( )１ Ｄ． １２，( )１ 由题意 ｓｉｎ ∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２ ２ （Ｂ１为椭圆的短轴顶点），由于 θ ２≤ ∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２ ２ ＜π ２ ，且，∠Ｆ１Ｂ１Ｆ２＝θ＞ ９０°，故槡２ ２ ＜ｅ＜１，故选 Ｃ． （２０２３·常德市期中）设 Ａ、Ｂ是椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）长轴上的两个顶点，若椭圆上存在 一个点 Ｐ，满足∠ＡＰＢ＝１２０°，则椭圆的离心率取值范围为　　　　． 设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），（０＜ｙ０≤ｂ），则 ｘ ２ ０ ＝ａ ２ １－ ｙ２０ ｂ( )２ ，ｔａｎ１２０°＝ｋＰＢ－ｋＰＡ１＋ｋＰＡｋＰＢ ＝ ｙ０ ｘ０－ａ － ｙ０ ｘ０＋ａ １＋ ｙ０ ｘ０－ａ · ｙ０ ｘ０＋ａ ＝ ２ａｂ２ ｙ０（ｂ ２－ａ２） ＝－槡３，所以 ｙ０＝ ２ａｂ２ 槡３ｃ ２ ，所以０＜２ａｂ ２ 槡３ｃ ２ ≤ｂ，３ｅ４＋４ｅ２－４≥０，０＜ｅ＜１，解得槡６３≤ ｅ＜１．所 以椭圆的离心率 ｅ的取值范围是 槡６ ３ ，[ )１．故答案为 槡６３，[ )１． 注意：最大角一般出现在短轴顶点，我们也按照坐标来限定角度和离心率． ■ ７８　 ■  二、直角∠Ｆ１ＰＦ２的约束 　　　　　　 椭圆篇： ＰＦ２ ＝２ｃｓｉｎα， ＰＦ１ ＝２ｃｃｏｓα，有 ＰＦ１ ＋ ＰＦ１ ＝２ａ，带