第三章 第二节 长度角度语言，比值瑞璨-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ６０　 ■  !,#$Z[@[VW) \7]^ 一、焦弦比值与离心率问题 １．椭圆的焦比定理 Ａ是椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０上一点，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦点，∠ＡＦ１Ｆ２为 α，ＡＢ过 Ｆ１，ｃ是椭 圆半 焦 距， 如 图， 则 ＡＦ１ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ①； ＢＦ１ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ②； ＡＢ ＝ ２ａｂ ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ＝ ２ａｂ２ ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α ③． 焦比定理：过椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１的左焦点 Ｆ１的弦，令 ＡＦ１ ＝λ Ｆ１Ｂ， ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ＝ λｂ ２ ａ＋ｃｃｏｓα ｅｃｏｓα ＝λ－１ λ＋１ ④，代入焦长公式①可得 ＡＦ１ ＝ λ( )＋１ｂ２ ２ａ ， ＢＦ１ ＝ λ( )＋１ｂ２ ２λａ ⑤． 这样组合①②③④⑤，焦点弦问题才能形成闭环． ２．双曲线焦比定理之交一支类型 Ａ、Ｂ是双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１左支上两点，Ｆ１是左焦点，∠ＡＦ１Ｏ为 αα，ＡＢ过 Ｆ１，ｃ是双曲线半焦 距，如图，则 ＡＦ１ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ①； ＢＦ１ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ②；（根据长减短加判 断符号） ＡＢ ＝ ２ａｂ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ③． 令 ＡＦ１ ＝λ Ｆ１Ｂ，即 ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ＝ λｂ ２ ａ－ｃｃｏｓα ｅｃｏｓα＝１－λ λ＋１ ０＜λ( )＜１④（如果 λ＞１，有 ｅｃｏｓα＝ λ－１ λ＋１ ），代入弦长公式可得 ＡＦ１ ＝ λ( )＋１ｂ２ ２ａ ， ＢＦ１ ＝ λ( )＋１ｂ２ ２λａ ⑤（与椭圆一致）． ３．双曲线焦比定理之交两支类型 Ａ是双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１左支上一点，Ｂ是双曲线右支上一点，Ｆ１是左焦点，∠ＡＦ１Ｏ为 α，ＡＢ过 !)#$56789 ■■ ６１　 ■ Ｆ１，ｃ是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有 ｋ ＜ ｂ ａ ，平方得：ｔａｎ２α＜ｂ ２ ａ２ ，即 ｃｏｓα＞ａｃ ，故 ａ －ｃｃｏｓα＜０ ＡＦ１ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ①； ＢＦ１ ＝ ｂ２ ｃｃｏｓα－ａ ②；（根据长减短加判断符号）ＡＢ ＝ ２ａｂ ２ ｃ２ｃｏｓ２α－ａ２ ③． 令 ＢＦ１ ＝λ ＡＦ１ ，即 ｂ２ ｃｃｏｓα－ａ ＝ λｂ ２ ａ＋ｃｃｏｓα ｅｃｏｓα＝λ＋１ λ－１ λ( )＞１④ 代入弦长公式可得 ＢＦ１ ＝ λ( )－１ｂ２ ２ａ ， ＡＦ１ ＝ λ( )－１ｂ２ ２λａ ⑤． （２０２３·新高考Ⅰ）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２．点 Ａ 在 Ｃ上，点 Ｂ在 ｙ轴上，Ｆ１Ａ ! ⊥Ｆ１Ｂ ! ，Ｆ２Ａ ! ＝－２ ３ Ｆ２Ｂ ! ，则 Ｃ的离心率为 　． 解法一：（长度语言转化）如图，Ｆ１Ａ ! ⊥Ｆ１Ｂ ! ，则 ＡＦ１ ＋ ＢＦ１ － ＡＢ ＝ ＡＦ１ － ＡＦ２ ＝２ａ， 又Ｆ２Ａ ! ＝－２ ３ Ｆ２Ｂ ! ，故设 Ｆ２Ａ ! ＝２ｔ， Ｆ２Ｂ ! ＝ Ｆ１Ｂ ＝３ｔ， ＡＢ ＝５ｔ，则 ＡＦ１ ＝４ｔ，又因为 ２ｔ＝ ＡＦ１ － ＡＦ２ ＝２ａ，且 ｘ－ｃ＝ ２ ３ ｃ，可得 ｘＡ＝ ５ ３ ｃ，所以 ＡＦ２ ＝２ａ＝ｅｘＡ－ａ＝ ５ ３ · ｃ２ ａ －ａ，即 ５ｃ２＝ ９ａ２，则 ｅ＝３槡５ ５ ． 解法二：（长度角度语言）由Ｆ２Ａ ! ＝－２ ３ Ｆ２Ｂ ! ，得 Ｆ２Ａ ! Ｆ２Ｂ ! ＝２ ３ ，设 Ｆ２Ａ ! ＝２ｔ， Ｆ２Ｂ ! ＝３ｔ，由对称性可 得 Ｆ１Ｂ ! ＝３ｔ，则 ＡＢ! ＝５ｔ， ＡＦ１ ! ＝２ｔ＋２ａ＝４ｔ，解得 ｔ＝ａ， Ｆ２Ｂ ＝ ｃ ｃｏｓα ＝３ａ，所以 ｃｏｓα＝ｃ３ａ ， Ｆ２Ａ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ＝２ａ，所以 ｃ２－ａ２＝２ａ２－２ａｃ· ｃ ３ａ ，即５ｃ２＝９ａ２，则 ｅ＝３槡５ ５ ．故答案为：３槡５ ５ ． 注意：本题由于 Ｂ点坐标的不在特殊点，所以无论是坐标语言还是长度语言，差距不大，都需 要进行数形结合转化，近年的高考中，通常都需要数形结合的转化，会简化计算。 ■ ６２　 ■  （２０２３·涟源市模拟）如图所示，Ｆ１，Ｆ２是双曲线 Ｃ： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点， 双曲线 Ｃ的右支上存在一点Ｂ满足ＢＦ１⊥ＢＦ２，ＢＦ１与双曲线 Ｃ的左支的交点Ａ平分线段ＢＦ１， 则双曲线 Ｃ的离心率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．２槡３ Ｃ．槡１３ Ｄ．槡１５ 令∠ＢＦ１Ｆ２＝α，这里涉及双曲线交两支的焦比定理， ＢＦ１ ＝２ＡＦ１ ，故 ＢＦ１ ＝ λ－１ ２ ｂ２ ａ ＝ １ ２ ｂ２ ａ ＝２ｃｃｏｓα