第三章 第一节 点与坐标语言， 点线立判-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!)#$56789 ■■ ５５　 ■ ３!　 ?@ABC D.0.+D)1)<.> 　　这是圆锥曲线在小题当中最能体现方程思想的地方，离心率，三个变量 ａ、ｂ、ｃ，需要两个方 程，其中一个是 ａ２＝ｂ２＋ｃ２（椭圆），ｃ２＝ａ２＋ｂ２（双曲线），另一个就是我们需要去列的方程，这个方 程通常有两种语言角度，一种是坐标语言角度，即把一切转化为坐标，通过坐标列方程，另一种是 长度／角度（斜率）角度，本文就通过列举两种角度语言来解读。小题小做，最终决定方法选取的关键 就是计算量和简捷性。 !"#$?STUVW) ?1XY 一、焦点体系 通常斜率已知或者角度已知的焦点弦问题，我们采用坐标来进行翻译，尤其是半通径点 Ｐ ±ｃ， ±ｂ ２ ( )ａ ，其它几何性质相对体现较少． （２０２０·新课标Ⅰ）已知 Ｆ为双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点，Ａ为 Ｃ的右顶点， Ｂ为 Ｃ上的点，且 ＢＦ垂直于 ｘ轴．若 ＡＢ的斜率为３，则 Ｃ的离心率为　　　　． Ｆ为双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点（ｃ，０），Ａ为 Ｃ的右顶点（ａ，０），Ｂ为 Ｃ 上的点，且 ＢＦ垂直于 ｘ轴．所以 Ｂ ｃ，ｂ ２ ( )ａ ，若 ＡＢ的斜率为３，可得： ｂ２ ａ －０ ｃ－ａ ＝３，ｂ２＝ｃ２－ａ２，代入 上式化简可得 ｃ２＝３ａｃ－２ａ２，ｅ＝ｃ ａ ，可得 ｅ２－３ｅ＋２＝０，ｅ＞１，解得 ｅ＝２．故答案为２． （２０２１·天津）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点与抛物线 ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点重 合，抛物线的准线交双曲线于 Ａ，Ｂ两点，交双曲线的渐近线于 Ｃ，Ｄ两点，若 ＣＤ ＝ 槡２ ＡＢ，则双曲线的离心率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．槡２ Ｂ．槡３ Ｃ．２ Ｄ．３ 由题意可得抛物线的准线方程为 ｘ＝－ｐ ２ ，由题意可得： ｐ ２ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ，渐近线的方程为：ｙ ＝±ｂ ａ ｘ，可得 Ａ － ａ２＋ｂ槡 ２ ， ｂ２( )ａ ，Ｂ － ａ２＋ｂ槡 ２， －ｂ ２ ( )ａ ，Ｃ － ａ２＋ｂ槡 ２，ｂ ａ ２＋ｂ槡 ２( )ａ ， Ｄ － ａ２＋ｂ槡 ２ ， －ｂ ａ ２＋ｂ槡 ２( )ａ ，所以 ＡＢ ＝２ｂ ２ ａ ， ＣＤ ＝２ｂ ａ ２＋ｂ槡 ２ ａ ，由 ＣＤ ＝槡２ ＡＢ，解得：ｃ ■ ５６　 ■  ＝槡２ａ，所以双曲线的离心率 ｅ＝ ｃ ａ ＝槡２，故选 Ａ． （２０２１·浙江）已知椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），焦点 Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）（ｃ＞０）．若过 Ｆ１ 的直线和圆 ｘ－１２( )ｃ ２ ＋ｙ２＝ｃ２相切，与椭圆的第一象限交于点 Ｐ，且 ＰＦ２⊥ｘ轴，则该直线的 斜率是　　　　　　　，椭圆的离心率是　　　　． 由直线过 Ｆ１，设直线的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋ｃ），因为直线和圆 ｘ－ １ ２( )ｃ ２ ＋ｙ２＝ｃ２相切，所以圆心 １ ２ ｃ，( )０到直线的距离与半径相等，所以 ｋ· ｃ ２ －０＋ｋｃ ｋ２槡 ＋１ ＝ｃ，解得 ｋ＝２槡５ ５ ，将 ｘ＝ｃ代入ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １，可得 Ｐ点坐标为 Ｐ ｃ，ｂ ２ ( )ａ ，因为 ｔａｎ∠ＰＦ１Ｆ２＝ＰＦ２Ｆ１Ｆ２ ＝ ｂ２ ２ａｃ ＝ｋ＝２槡５ ５ ，所以 ａ２－ｃ２ ２ａｃ ＝２槡５ ５ ，所以 １－ｅ２ ２ｅ ＝２槡５ ５ ，所以 ｅ＝槡５ ５ ．故答案为２槡５ ５ ，槡 ５ ５ ． （２０２２·浙江）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点为 Ｆ，过 Ｆ且斜率为 ｂ ４ａ 的直线交双 曲线于点 Ａ（ｘ１，ｙ１），交双曲线的渐近线于点 Ｂ（ｘ２，ｙ２）且 ｘ１＜０＜ｘ２．若 ＦＢ ＝３ＦＡ，则双 曲线的离心率是　　　　． 如图，过点 Ａ作 ＡＡ′⊥ｘ轴于点 Ａ′，过点 Ｂ作 ＢＢ′⊥ｘ轴于点 Ｂ′，由于 Ｂ（ｘ２，ｙ２）且 ｘ２＞０，且 点 Ｂ在渐近线 ｙ＝ｂ ａ ｘ上，不妨设Ｂ ｍ， ｂａ( )ｍ ，ｍ＞０，设直线 ＡＢ的倾斜角为 θ，则 ｔａｎθ＝ｂ４ａ，则 ＢＢ′ ＦＢ′ ＝ｂ ４ａ ，即 ｂ ａ ｍ ＦＢ′ ＝ｂ ４ａ ，则 ＦＢ′＝４ｍ，所以 ＯＦ ＝ｃ＝３ｍ，又 ＡＡ′ ＢＢ′ ＝ ＡＦ ＢＦ ＝１ ３ ，则 ＡＡ′＝ １ ３ ＢＢ′＝ｂｍ ３ａ ＝ｂｃ ９ａ ，又 ＦＡ′ ＦＢ′ ＝ ＡＦ ＢＦ ＝１ ３ ，则 ＦＡ′＝１ ３ ＦＢ′＝４ｍ ３ ，则 ｘ１ ＝３ｍ－ ４ｍ ３ ＝５ｍ ３ ＝５ｃ ９ ， 所以点 Ａ的坐标为 －５ｃ９ ， ｂｃ ９( )ａ，所以 ２５ｃ２ ８１ ａ２ － ｂ２ｃ２ ８１ａ２ ｂ