第二章 第三节 四心性质类，圆切回味-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!,#$%&'(-.)/01234 ■■ ４５　 ■ 那么直线 ＭＮ的方程为 ｙ－ｙ０＝ ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ （ｘ－ｘ０），从而 Ｎ点坐标为 ｘ０－ ｂ２ ａ２ ｘ０，( )０，即 ｃ ２ｘ０ ａ２ ，( )０，所以， ＮＦ１ ＝ ｃ２ｘ０ ａ２ ＋ｃ， ＮＦ２ ＝ｃ－ ｃ２ｘ０ ａ２ ，所以 ＮＦ１ ＮＦ２ ＝ ａ２＋ｃｘ０ ａ２－ｃｘ０ ＝ ａ＋ｅｘ０ ａ－ｅｘ０ ，而 ＭＦ１ ＝ａ＋ｅｘ０， ＭＦ２ ＝ａ－ ｅｘ０，所以 ＰＦ１ ＰＦ２ ＝ ＱＦ１ ＱＦ２ ，由角平分线的性质可知，ＭＮ平分∠Ｆ１ＭＦ２，因此 α＝β． （３）由角平分线的性质可得 ＰＦ１ ＰＦ２ ＝ ＱＦ１ ＱＦ２ ＝ｑ＋ｃ ｃ－ｑ ＝ｑ＋槡３ 槡３－ｑ ，由椭圆的定义可得 ＰＦ１ ＋ ＰＦ２ ＝２ａ＝ ４，所以 ４－ ＰＦ２ ＰＦ２ ＝槡３＋ｑ 槡３－ｑ ，解得： ＰＦ２ ＝ ２（槡３－ｑ） 槡３ ，因为 ａ－ｃ＜ ＰＦ２ ＜ａ＋ｃ，２－槡３＜ ２（槡３－ｑ） 槡３ ＜２＋槡３，解得： － ３ ２ ＜ｑ＜３ ２ ，所以 ｑ的取值范围是 －３２ ， ３( )２ ． !-#$.NHIO) &PQR 一、椭圆焦点三角形内心与离心率 内心定理：如图，Ｉ为△ＰＦ１Ｆ２内切圆的圆心，ＰＩ和 Ｆ１Ｆ２相交于点 Ｎ（区分切点 Ｍ），则：① ＩＮ ＩＰ ＝ｅ，② Ｓ△ＩＦ１Ｆ２ Ｓ△ＰＦ１Ｆ２－Ｓ△ＩＦ１Ｆ２ ＝ｅ． 证明：①解法一：利用角平分线定理 ＋比例性质： ＩＮＩＰ ＝ Ｆ１Ｎ Ｆ１Ｐ ＝ Ｆ２Ｎ Ｆ２Ｐ ＝ Ｆ１Ｎ ＋ Ｆ２Ｎ Ｆ１Ｐ ＋ Ｆ２Ｐ ＝２ｃ ２ａ ＝ｅ， 解法二：（光学性质 ＋中垂线）我们先进行知识点引入： 中垂线截距定理：若 Ａ、Ｂ关于直线 ＰＱ对称，可以知道线段 ＡＢ被直线 ＰＱ垂直平分，其中 Ｐ （ｎ，０），Ｑ（０，ｍ）则能得出以下定理（不妨设焦点在 ｘ轴上）： ｍ＝－ ｙ０ｃ ２ ｂ２ （椭圆），ｍ＝ ｙ０ｃ ２ ｂ２ （双曲线）；ｎ＝ ｘ０ｃ ２ ａ２ （椭圆），ｎ＝ ｘ０ｃ ２ ａ２ （双曲线）． 因为 ｋＡＢ·ｋＯＭ＝－ ｂ２ ａ２ （点差法），ｋＡＢ·ｋＰＱ＝－１，所以 ｋＯＭ ｋＰＱ ＝ｂ ２ ａ２ ，故 ｙ０ ｘ０ ｙ０－ｍ ｘ０ ＝ｂ ２ ａ２ ，即 ｍ＝－ ｙ０ｃ ２ ｂ２ ；同 ■ ４６　 ■  理 ｙ０ ｘ０ ｙ０ ｘ０－ｎ ＝ｂ ２ ａ２ ，即 ｎ＝ ｘ０ｃ ２ ａ２ ． 证明：根据 ＰＮ为角平分线可知 ＰＮ⊥ｌ，（ｌ是椭圆在点 Ｐ处的切线），ＰＦ２和 ＰＦ１是入射光线和反 射光线，所以 ＰＮ是切点弦 ｌ的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），设Ｐ（ｘ０，ｙ０）， 故根据中垂线截距定理 ｘＮ＝ ｃ２ｘ０ ａ２ ，再根据角平分线定理可知 ＩＮ ＩＰ ＝ Ｆ１Ｐ Ｆ１Ｎ ＝ ａ＋ｅｘ０ ｃ２ｘ０ ａ２ ＋ｃ ＝ｅ， ②根据等面积法， ＩＮＩＰ ＝ ｙＩ ｙＰ－ｙＩ ＝ ｃｙＩ ｃｙＰ－ｙＩ ＝ Ｓ△ＩＦ１Ｆ２ Ｓ△ＰＦ１Ｆ２－Ｓ△ＩＦ１Ｆ２ ． （２０２２·焦作一模）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，Ｍ为 Ｃ上 一点，且△ＭＦ１Ｆ２的内心为Ｉ（ｘ０，２），若△ＭＦ１Ｆ２的面积为４ｂ，则 ＭＦ１ ＋ ＭＦ２ Ｆ１Ｆ２ ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．３ ２ Ｂ．５ ３ Ｃ．槡１３ ２ Ｄ．４ ３ 解法一：由题意可得，△ＭＦ１Ｆ２的内心Ｉ（ｘ０，２）到 ｘ轴的距离就是内切圆的半径． 又点 Ｍ在椭圆 Ｃ上，由椭圆的定义，得 ＭＦ１ ＋ ＭＦ２ ＋ Ｆ１Ｆ２ ＝２ａ＋２ｃ，Ｓ△ＭＦ１Ｆ２＝ １ ２ （２ａ＋２ｃ）×２ ＝２（ａ＋ｃ）＝４ｂ，即 ａ＋ｃ＝２ｂ．又 ｃ＝ｅａ，所以 ｂ＝ａ（１＋ｅ） ２ ，因为 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，所以 ａ（１＋ｅ）[ ]２ ２ ＋ ａ２ｅ２＝ａ２，即（１＋ｅ）２＋４ｅ２＝４，所以５ｅ２＋２ｅ－３＝０，解得 ｅ＝３ ５ 或 －１（舍去），所以 ＭＦ１ ＋ ＭＦ２ Ｆ１Ｆ２ ＝２ａ ２ｃ ＝１ ｅ ＝５ ３ ． 解法二：等面积法 Ｓ＝ｃｙＭ ＝４ｂ ｙＭ ＝ ４ｂ ｃ ，如图， ＩＮ ＩＭ ＝ ２ ｙＭ －２ ＝ ｃ ２ｂ－ｃ ＝ｅ＝ｃ ａ ，后同法一． 故选 Ｂ． （２０２２·雅安模拟）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１、Ｆ１，Ｐ为 Ｃ上 异于左、右顶点的一点，Ｍ为△ＰＦ１Ｆ２内心，若５ＭＦ１ ! ＋３ＭＦ２ ! ＋３ＭＰ! ＝０，则该椭圆的离心率 是　　　　． !,#$%&'(-.)/01234 ■■ ４７　 ■ 解法一：设 Ｄ是 ＰＦ２的中点，连接 ＭＤ，如图，则ＭＰ ! ＋ＭＦ２ ! ＝２ＭＤ! ，由５ＭＦ１ ! ＋３