第一章 第四节 抛物线中，定义当先-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!"#$%&'()*+ ■■ １７　 ■ （２０２３·涪城区模拟）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），经过原点 Ｏ的直线交 Ｃ于 Ａ，Ｂ两 点．Ｐ是 Ｃ上一点（异于点 Ａ，Ｂ），直线 ＢＰ交 ｘ轴于点 Ｄ．若直线 ＡＢ，ＡＰ的斜率之积为 ４ ９ ， 且∠ＢＤＯ＝∠ＢＯＤ，则椭圆 Ｃ的离心率为　　　　． 设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ａ（ｍ，ｎ），Ｂ（－ｍ， －ｎ），则直线 ＡＰ的斜率为 ｙ０－ｎ ｘ０－ｍ ，ＢＰ的斜率为 ｙ０＋ｎ ｘ０＋ｍ ， 由题知 ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝１ ｍ２ ａ２ ＋ｎ ２ ｂ２      ＝１ ，两式相减得 ｘ２０－ｍ ２ ａ２ ＝－ ｙ２０－ｎ ２ ｂ２ ，即 ｘ０＋ｍ ｙ０＋ｎ ＝－ａ ２ ｂ２ × ｙ０－ｎ ｘ０－ｍ ，即 １ ｋＢＰ ＝－ａ ２ ｂ２ ×ｋＡＰ，即 ｋＡＰ·ｋＢＰ＝－ ｂ２ ａ２ ，又∠ＢＤＯ＝∠ＢＯＤ，则 ｋＡＢ＝－ｋＢＰ，即 ｋＡＰ·ｋＡＢ＝ ｂ２ ａ２ ，即 ｂ２ ａ２ ＝４ ９ ，则 ｂ２＝４ ９ ａ２，所以 ｃ２＝ａ２－ｂ２＝ａ２－４ ９ ａ２＝５ ９ ａ２，即ｃ ２ ａ２ ＝５ ９ ，则椭圆 Ｃ的离心率为 ｃ ａ ＝槡５ ３ ．故答案为槡５ ３ ． !.#$/012) *+34 　　抛物线的焦半径公式与焦长公式 平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹；其中，定点为抛物线的焦点，定 直线叫做准线． 抛物线标准方程 ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）为例，焦点在 ｘ轴上，开口向右．参数 ｐ是焦点到准线的距离， 称为焦准距，故 ｐ恒为正数． １．顶点为原点 Ｏ ０，( )０，以 ｘ轴为对称轴，且没有对称中心，焦点为 Ｆ ｐ ２ ，( )０，准线为 ｘ＝－ ｐ ２ ，由于抛物线的离心率 ｅ都等于１，故抛物线通径为２ｅｐ＝２ｐ； ２．焦半径： ＰＦ ＝ｘ０＋ ｐ ２ ． ３．焦点弦：ｘＡ＋ｘＢ＋ｐ＝ ｐ １－ｃｏｓα ＋ ｐ １＋ｃｏｓα ＝ ２ｐ ｓｉｎ２α α≠( )０；特殊地，当 α＝π２时，为通径２ｐ． 证明：如图，作ＡＡ１⊥ｘ轴于Ａ１， ＡＦ ＝ｘＡ＋ ｐ ２ ，ｃｏｓα＝ ＦＡ１ ＡＦ 所以ｃｏｓα＝ ｘＡ－ ｐ ２ ｘＡ＋ ｐ ２ ＝１－ ｐ ｘＡ＋ ｐ ２ ＝ ■ １８　 ■  １－ ｐ ＡＦ 所以 ＡＦ ＝ ｐ １－ｃｏｓα ，同理 ＢＦ ＝ ｐ １＋ｃｏｓα ． ＡＢ ＝ ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ １－ｃｏｓα ＋ ｐ １＋ｃｏｓα ＝ ２ｐ ｓｉｎ２α ．（利用极坐标可以秒证，由于新课标没有引入极坐标，故我们采用保守证明） 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于１；它只有一个焦点、一个 顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线．椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为 有心圆锥曲线；抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线． （２０２１·北京）已知抛物线 ｙ２＝４ｘ的焦点为 Ｆ，点 Ｍ在抛物线上，ＭＮ垂直 ｘ轴于点 Ｎ，若 ＭＦ ＝６，则点 Ｍ的横坐标是　　　　；△ＭＮＦ的面积为　　　　． 抛物线 Ｃ：ｙ２＝４ｘ，则焦点 Ｆ（１，０），准线方程 ｌ为 ｘ＝－１，过点 Ｍ作 ＭＥ⊥ｌ，垂足为 Ｅ，设 Ｍ（ｘ０，ｙ０），则 ＭＦ＝ＭＥ＝６，所以 ｘ０＋１＝６，则 ｘ０＝５，所以点 Ｍ的横坐标为５； 点 Ｍ在抛物线上，故 ｙ２０ ＝４×５＝２０，所以 ｙ０ ＝２槡５，即 ＭＮ＝２槡５，所以 ＳΔＦＭＮ ＝ １ ２ × ＦＮ × ＭＮ ＝１ ２ ×（５－１）×２槡５＝４槡５．故答案为５；４槡５． （２０２１·上海）已知抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０），若第一象限的 Ａ，Ｂ在抛物线上，焦点为 Ｆ， ＡＦ ＝２， ＢＦ ＝４， ＡＢ ＝３，求直线 ＡＢ的斜率为　　　　． 如图所示，设抛物线的准线为 ｌ，作 ＡＣ⊥ｌ于点 Ｃ，ＢＤ⊥ｌ于点 Ｄ，ＡＥ⊥ＢＤ于点 Ｅ， 由抛物线的定义，可得 ＡＣ＝ＡＦ＝２，ＢＤ＝ＢＦ＝４，所以 ＢＥ＝４－２＝２，ＡＥ＝ ＡＢ２－ＢＥ槡 ２ ＝槡９－４＝ 槡５，所以直线 ＡＢ的斜率 ｋＡＢ＝ｔａｎ∠ＡＢＥ＝ ＡＥ ＢＥ ＝槡５ ２ ．故答案为槡５ ２ ． （２０２１·新高考Ⅰ）已知 Ｏ为坐标原点，抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，Ｐ为 Ｃ上一点， ＰＦ与 ｘ轴垂直，Ｑ为 ｘ轴上一点，且 ＰＱ⊥ＯＰ．若 ＦＱ ＝６，则 Ｃ的准线方程为　　　　． 解法一：由题意，不妨设 Ｐ在第一象限，则 Ｐ ｐ２ ，( )ｐ，ｋＯＰ＝２，ＰＱ⊥ＯＰ． 所以 ｋＰＱ＝－ １ ２ ，所以 ＰＱ的方程为：ｙ－ｐ＝－１ ２ ｘ－ｐ( )２ ，ｙ＝０时，ｘ＝５ｐ２， ＦＱ ＝６，所以５ｐ２－ｐ２ !"#$%&'()*+ ■■ １９　 ■ ＝６，解得 ｐ＝３，所以抛物线的准线方程为