第一章 第二节 椭圆双曲，第二定义-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ １０　 ■  ＰＦ２ ! ＝０，则双曲线的渐近线方程为 （　　） Ａ．ｙ＝±槡７ ２ ｘ Ｂ．ｙ＝±槡１０ ２ ｘ Ｃ．ｙ＝±槡１４ ２ ｘ Ｄ．ｙ＝±槡１７ ２ ｘ 因为 Ｐ为 ＡＢ的中点，且Ｆ１Ｐ ! ·ＰＦ２ ! ＝０，所以Ｆ１Ｐ ! ⊥ＰＦ２ ! ，所以△Ｆ２ＡＢ为等腰三角形，所以 ＡＦ２ ＝ ＢＦ２ ， 易知 ＡＢ ＝ ＢＦ１ － ＡＦ１ ＝ ＢＦ２ ＋２ａ－ ＡＦ２ ＋２ａ＝４ａ，根据双曲线交两支的焦长公式： ＡＢ ＝ ｂ２ ｃｃｏｓθ－ａ － ｂ ２ ｃｃｏｓθ＋ａ ＝ ２ａｂ ２ ｃ２ｃｏｓ２θ－ａ２ ＝４ａ，所以 ｅ２（２ｃｏｓ２θ－１）＝１，又Ｆ１Ｂ ! ＝５Ｆ１Ａ ! ，所以 ｂ２ ｃｃｏｓθ－ａ ＝ ５ｂ２ ｃｃｏｓθ＋ａ ｅｃｏｓθ＝３２ ，所以 ｅ２＝７ ２ ，所以双曲线的渐近线方程为 ｙ＝±槡１０ ２ ｘ．故选 Ｂ． 注意：这类等腰三角形的底边一定为４ａ，也形成了此类型题的固定套路，关于椭圆双曲线的焦 长焦比内容，我们还会在后面离心率专题再次涉及，焦长焦比是解决小题的必备武器． !,#$%&'() !,*+ 一、椭圆第二定义与焦半径公式 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 ｅ（０＜ｅ＜１）的点的轨迹，其中，定 点为焦点，定直线叫做准线，常数 ｅ叫做离心率． 设 Ｍ（ｘ，ｙ）是椭圆上任意一点，定点为Ｆ（ｃ，０），定直线为 ｘ＝ａ ２ ｃ ，常数 ｅ＝ｃ ａ ，由上述椭圆的 定义可得： （ｘ－ｃ）２＋ｙ槡 ２ ａ２ ｃ －ｘ ＝ｃ ａ ，变形即可． 焦半径椭圆上的点到焦点的距离；设 Ｐ（ｘ０，ｙ０）为椭圆上的一点， ①焦点在 ｘ轴：焦半径 ＰＦ１ ＝ａ＋ｅｘ０ ＰＦ２ ＝ａ－ｅｘ{ ０（左加右减）； ②焦点在 ｙ轴：焦半径 ＰＦ１ ＝ａ＋ｅｙ０ ＰＦ２ ＝ａ－ｅｙ{ ０（下加上减）． 注意：利用第二定义快速进行证明，结合图象，长的加，短的减。 注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用余弦定理推导． 二、双曲线第二定义与焦半径公式 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 ｅ（ｅ＞１）的点的轨迹；定直线叫做准 线，常数 ｅ叫做离心率． !"#$%&'()*+ ■■ １１　 ■ 根据 ｘ－( )ｃ２＋ｙ槡 ２ ａ２ ｃ －ｘ ＝ｃ ａ ，化简得到 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ，ｂ( )＞０． 焦半径　设 Ｐ（ｘ０，ｙ０）为双曲线上的一点， ①焦点在 ｘ轴：Ｐ在左支 ＰＦ１ ＝－ａ－ｅｘ０ ＰＦ２ ＝ａ－ｅｘ{ ０ ，Ｐ在右支 ＰＦ１ ＝ａ＋ｅｘ０ ＰＦ２ ＝－ａ＋ｅｘ{ ０； ②焦点在 ｙ轴：Ｐ在下支 ＰＦ１ ＝－ａ－ｅｙ０ ＰＦ２ ＝ａ－ｅｙ{ ０ ，Ｐ在上支 ＰＦ１ ＝ａ＋ｅｙ０ ＰＦ２ ＝－ａ＋ｅｙ{ ０． 焦半径公式和焦长焦比都是解挖掘圆锥曲线几何性质的常见招数，那么什么时候用焦长焦比， 什么时候用焦半径呢？ 如今的圆锥曲线体系，方法众多，什么时候选择用什么成为了重中之重，焦长焦比强调共线， 强调角度和比值，而焦半径强调和积，不注重共线，强调点的坐标，当然很多时候，尤其在高考题 当中，焦长焦比与焦半径是相通的，我们从以下例题中找寻答案． （２０２３·湖北月考）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲 线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是 常数 ｅ的点的轨迹叫做圆锥曲线：当 ０＜ｅ＜１时，轨迹为椭圆；当 ｅ＝１时，轨迹为抛物线； 当 ｅ＞１时，轨迹为双曲线．现有方程 ｍ（ｘ２＋ｙ２＋２ｙ＋１）＝（２ｘ－ｙ＋３）２表示的曲线是双曲线， 则 ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．（０，８） Ｂ．（８， ＋∞） Ｃ．（０，５） Ｄ．（５， ＋∞） 方程 ｍ（ｘ２＋ｙ２＋２ｙ＋１）＝（２ｘ－ｙ＋３）２，ｍ＞０，即为 ｍ［ｘ２＋（ｙ＋１）２］＝（２ｘ－ｙ＋３）２，可得 槡ｍ· ｘ ２＋（ｙ＋１）槡 ２ ＝ ２ｘ－ｙ＋３，则 ｘ ２＋（ｙ＋１）槡 ２ ２ｘ－ｙ＋３ 槡５ ＝槡５ 槡ｍ ，可得动点 Ｐ（ｘ，ｙ）到定点（０， －１）和 定直线２ｘ－ｙ＋３＝０的距离的比为常数槡５ 槡ｍ ，由双曲线的定义，可得槡 ５ 槡ｍ ＞１，解得０＜ｍ＜５．故选 Ｃ． （２０２３·包头期末）设 Ｆ１、Ｆ２为椭圆 Γ： ｘ２ ２５ ＋ｙ ２ ２１ ＝１的两个焦点，Ｐ为 Γ上一点且在第二象限． 若 ＰＦ１ ＝ Ｆ１Ｆ２ ，则点 Ｐ的坐标为　　　　． 椭圆 ｘ２ ２５ ＋ｙ ２ ２１ ＝１，则 ａ＝５，ｂ２＝２１，ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２ ＝２，所以 Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２，０）， ＰＦ１ ＝ Ｆ１Ｆ２ ＝２ｃ＝４，由题意设 Ｐ（ｘ，ｙ），ｘ＜０，ｙ＞０， ＰＦ１ ＝ Ｆ１Ｆ２ ，所以 ａ＋ｅｘ０＝２ｃ，即 ｘ０＝