第一章 第一节 椭圆双曲，第一定义-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

书 !"#$%&'()*+ ■■ １　 ■ １!　 !"#$%&' ()*+,-)./)0.*+1*+2.+3(. !"#$%&'() !"*+ 一、椭圆第一定义 平面内与两个定点 Ｆ１、Ｆ２的距离的和等于常数 ２ａ（２ａ大于 Ｆ１Ｆ２ ）的点的轨迹；其中，两个定 点称做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 设 Ｍ（ｘ，ｙ）是椭圆上任意一点，焦点 Ｆ１（－ｃ，０）和 Ｆ２（ｃ，０），由上述椭圆的定义可得： （ｘ＋ｃ）２＋ｙ槡 ２ ＋ （ｘ－ｃ）２＋ｙ槡 ２ ＝２ａ，将这个方程移项，两边平方得：ａ２－ｃｘ＝ａ （ｘ－ｃ）２＋ｙ槡 ２ ，两 边再平方，整理得： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０ 注意：１．椭圆的标准方程 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０中心在原点，焦点在 ｘ轴上； ｙ２ ａ２ ＋ｘ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０中心在原点，焦点在 ｙ轴上      ． 后面我们仅以 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０展开性质介绍分析． ２．顶点 Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０），Ｂ１（０， －ｂ），Ｂ２（０，ｂ）． ３．长轴和短轴　长轴为２ａ，短轴为２ｂ，注意区分长半轴为 ａ，短半轴为 ｂ． ４．焦点 Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）． ５．焦距 Ｆ１Ｆ２ ＝２ｃ（ｃ＞０），同时：ｃ ２＝ａ２－ｂ２． ６．离心率 ｅ＝ｃ ａ ０＜ｅ( )＜１；离心率越大，椭圆越扁． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为 ａ＞ｃ＞０，所以 ｅ的取值范围是 ０＜ｅ ＜１； ①ｅ越接近１，则 ｃ就越接近 ａ，从而 ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２ 越小，因此椭圆越扁； ②ｅ越接近于０，ｃ就越接近０，从而 ｂ越接近于 ａ，这时椭圆就越接近于圆． ７．Ｐ为椭圆上一点，则ＰＦ１ ! ·ＰＦ２ ! ＝ ＰＯ! ２－ｃ２∈［ｂ２－ｃ２，ｂ２］（利用极化恒等式证明）． （２０２１·甲卷）已知 Ｆ１，Ｆ２ 是双曲线 Ｃ的两个焦点，Ｐ为 Ｃ上一点，且∠Ｆ１ＰＦ２ ＝６０°， ＰＦ１ ＝３ＰＦ２ ，则 Ｃ的离心率为 （　　） ■ ２　 ■  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．槡７ Ｂ．槡１３ Ｃ．槡 ７ ２ Ｄ．槡１３ ２ 设 ＰＦ１ ＝ｍ， ＰＦ２ ＝ｎ，ｍ－ｎ＝２ａ，故 ｍ＝３ａ，ｎ＝ａ，Ｓ△ＰＦ１Ｆ２＝ ｂ２ ｔａｎ３０° ＝槡３ｂ ２＝１ ２ ｍｎｓｉｎ６０° ＝３槡３ ４ ａ２，所以３ａ２＝４ｂ２，所求离心率为 ｅ＝槡７ ２ ．故选 Ｃ． （２０２３·新高考Ⅰ）设椭圆 Ｃ１： ｘ２ ａ２ ＋ｙ２＝１（ａ＞１），Ｃ２： ｘ２ ４ ＋ｙ２＝１的离心率分别为 ｅ１，ｅ２．若 ｅ２＝槡３ｅ１，则 ａ＝ （　　） Ａ．２槡３ ３ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．槡６ 由椭圆 Ｃ２： ｘ２ ４ ＋ｙ２＝１可得 ａ２＝２，ｂ２＝１，所以 ｃ２＝槡４－１＝槡３，所以椭圆 Ｃ２的离心率为 ｅ２ ＝槡３ ２ ，因为 ｅ２＝槡３ｅ１，所以 ｅ１＝ １ ２ ，所以 ｃ１ ａ１ ＝１ ２ ，所以 ａ２１＝４ｃ ２ １＝４（ａ ２ １－ｂ ２ １）＝４（ａ ２ １－１），所以 ａ＝ ２槡３ ３ 或 ａ＝－２槡３ ３ （舍去）．故选：Ａ． （２０２３·赣州月考）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２．椭圆 Ｃ在 第一象限存在点Ｍ，使得 ＭＦ１ ＝ Ｆ１Ｆ２ ，直线Ｆ１Ｍ与ｙ轴交于点Ａ，且Ｆ２Ａ是∠ＭＦ２Ｆ１的角 平分线，则椭圆 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．槡６－１ ２ Ｂ．槡５－１ ２ Ｃ．１ ２ Ｄ．槡３－１ ２ 解法一：由题意得 Ｆ１Ｍ ＝ Ｆ１Ｆ２ ＝２ｃ，又由椭圆定义得 ＭＦ２ ＝２ａ－２ｃ，记∠ＭＦ１Ｆ２＝θ， 则∠ＡＦ２Ｆ１＝∠ＭＦ２Ａ＝θ，∠Ｆ１Ｆ２Ｍ＝∠Ｆ１ＭＦ２ ＝∠ＭＡＦ２ ＝２θ，则 ＡＦ２ ＝ ＡＦ１ ＝２ａ－２ｃ，所以 ＡＭ ＝４ｃ－２ａ，根据内角平分线定理： ＭＦ２ Ｆ１Ｆ２ ＝ ＭＡ ＡＦ１ ，则 ２ａ－２ｃ ２ｃ ＝４ｃ－２ａ ２ａ－２ｃ ，即 ｃ２＋ａｃ－ａ２＝０ｅ２ ＋ｅ－１＝０ｅ＝槡５－１２ ． 解法二：根据倍角三角形性质，若△ＡＢＣ中，Ａ＝２Ｂ，则一定有 ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），本题发现∠ＭＦ２Ｆ１＝ ２∠ＭＦ１Ｆ２，所以 ＭＦ１ ２＝ ＭＦ２ （ＭＦ２ ＋ Ｆ１Ｆ２ ），所以４ｃ ２＝（２ａ－２ｃ）２ａ，ｃ２＋ａｃ－ａ２＝０ｅ２＋ｅ －１＝０ｅ＝槡５－１２ ，故选 Ｂ． （２０２３·浙江月考）已知 Ｆ１、Ｆ２是椭圆 Ｅ： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左右焦点，点 Ｐ是椭圆 Ｅ上 任一点，若ＰＦ１ ! ·ＰＦ２ ! ＝ｃ２，则椭圆离心率的取值范围为　　　　． !"#$%&'(