专题10 条件概率与全概率公式-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■■ ８７　 ■ １０YZ$[7\$[:; <*.>P*./-.*)(=(B(./-.*)(->/-&'* !"“ˆ)©,)* 一般地，设Ａ，Ｂ为两个随机事件，且Ｐ（Ａ）＞０， 我们称Ｐ（ＢＡ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）为在事件Ａ发生的条件 下，事件Ｂ发生的条件概率． （１）分别计算概率Ｐ（ＡＢ）和Ｐ（Ａ）． （２）将它们相除得到条件概率Ｐ（ＢＡ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）， 这个公式适用于一般情形，其中 ＡＢ表示 Ａ，Ｂ 同时发生． （２０２２·天津）５２张扑克牌，没有大小王， 无放回地抽取两次，则两次都抽到 Ａ的概 率为 　　　　；已知第一次抽到的是 Ａ， 则第二次抽取Ａ的概率为 　　　　． 由题意，设第一次抽到Ａ的事件为 Ｂ，第 二次抽到Ａ的事件为 Ｃ，则 Ｐ（ＢＣ）＝４５２× ３ ５１＝ １ ２２１，Ｐ（Ｂ）＝ ４ ５２＝ １ １３，所以Ｐ（ＣＢ）＝ Ｐ（ＢＣ） Ｐ（Ｂ）＝ １ ２２１ １ １３ ＝１１７，故答案为 １ ２２１； １ １７． （２０２３·河北期末）将三颗骰子各掷一次， 记事件Ａ＝“三个点数都不同”，Ｂ＝“至少 出现一个６点”，则条件概率Ｐ（ＢＡ），Ｐ （ＡＢ）分别等于 （　　） 　　　　 　 　　　　　　Ａ．６０９１， １ ２ Ｂ． １ ２， ６０ ９１ Ｃ．２０９１， １ ２ Ｄ． １ ２， ２０ ９１ 由题意知：事件ＡＢ＝“三个点数都不同且 至少出现一个６点”，因为Ｐ（Ａ）＝ Ａ３６ ６３ ＝１２０２１６＝ ５ ９， Ｐ（Ｂ）＝６ ３－５３ ６３ ＝９１２１６，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ１３·Ａ ２ ５ ６３ ＝６０２１６＝ ５ １８，所以Ｐ（ＢＡ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ）＝ ５ １８ ５ ９ ＝１２，Ｐ（ＡＢ） ＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ）＝ ５ １８ ９１ ２１６ ＝６０９１．故选Ｂ． （２０２２秋·宝山区校级期末）某个闯关游 戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若 某一关没有通过，则游戏结束．小明闯过 第一关的概率为 ３ ４，连续闯过前两关的概 率为 １ ２，连续闯过前三关的概率为 １ ４．事 件Ａ表示小明第一关闯关成功，事件Ｃ表 示小明第三关闯关成功，则 Ｐ（Ｃ Ａ） ＝　　　　． ：根据题意，小明闯过第一关的概率为 ３ ４，连续闯过前两关的概率为 １ ２，连续闯过前三 关的概率为 １ ４．则 Ｐ（Ａ）＝ ３ ４，Ｐ（ＡＢＣ）＝ １ ４， 则Ｐ（ＣＡ）＝Ｐ（ＡＢＣ）Ｐ（Ａ） ＝ １ ４ ３ ４ ＝１３，故答案为 １ ３． （２０２３·顺庆区模拟）盒子里有１个红球与 ｎ个白球，随机取球，每次取１个球，取 后放回，共取２次．若至少有一次取到红 球的条件下，                                两次取到的都是红球的概率 ■ ８８　 ■  为 １ ９，则ｎ＝ （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ 设事件Ａ为至少有一次取到红球，事件 Ｂ 为两次都取到红球，由每次取后放回知 Ｐ（Ｂ）＝ １ ｎ＋１× １ ｎ＋１＝ １ （ｎ＋１）２ ，两次都取到白球的概率 为 ｎ ｎ＋１× ｎ ｎ＋１＝ ｎ２ （ｎ＋１）２ ，故 Ｐ（Ａ）＝１－ ｎ２ （ｎ＋１）２ ＝ ２ｎ＋１ （ｎ＋１）２ ，Ｐ（Ｂ Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ） ＝ １２ｎ＋１＝ １ ９，故ｎ＝４．故选Ｂ． （２０２３·多选·襄州区开学）甲、乙、丙、 丁四名同学报名参加假期社区服务活动， 社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检 测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要 报名且限报其中一项．记事件 Ａ为“恰有 两名同学所报项目相同”，事件 Ｂ为“只 有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则 （　　） Ａ．四名同学的报名情况共有３４种 Ｂ．“每个项目都有人报名”的报名情况共 有７２种 Ｃ．“四名同学最终只报了两个项目”的概 率是 １４ ２７ Ｄ．Ｐ（ＢＡ）＝１６ 对Ａ选项，因为四名同学的报名情况共有 ３×３×３×３＝３４种，所以Ａ选项正确； 对Ｂ选项，因为 “每个项目都有人报名”的报名 情况共有Ｃ２４·Ａ ３ ３＝３６种，所以Ｂ选项错误； 对Ｃ选项，因为 “四名同学最终只报了两个项 目”的报名情况共有 Ｃ２４·Ｃ ２ ２ Ａ２２ ＋Ｃ１４·Ｃ ３( )３ ·Ａ２３＝４２ 种，又四名同学的报名情况共有３×３×３×３＝３４ 种，所以 “四名同学最终只报了两个项目”的概 率是 ４２ ３４ ＝１４２７，所以Ｃ选项正确； 对Ｄ选项，因为事件Ａ·Ｂ包含的报名情况种数 ｎ（ＡＢ）＝Ｃ２３·Ａ ２ ２＝６，又事件 Ａ包含的报名情况 种数ｎ（Ａ）＝Ｃ２４·Ａ ３ ３＝３６，所以Ｐ（ＢＡ）＝ ｎ（ＡＢ） ｎ（Ａ） ＝６３６＝ １ ６，所以Ｄ选项正确．故选ＡＣＤ． +")©…\23 对任意两个事件