专题9 二项式定理-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■■ ８１　 ■ ９V9;WM +X?*./-&'*,*/-)* !"+13Zƒ （ａ＋ｂ）ｎ＝Ｃ０ｎａ ｎ＋Ｃ１ｎａ ｎ－１ｂ＋Ｃ２ｎａ ｎ－２ｂ２ ＋… ＋ Ｃｋｎａ ｎ－ｋｂｋ＋…＋Ｃｎｎｂ ｎ（ｎ∈Ｎ）． （１）这个公式叫做二项式定理． （２）展开式：等号右边的多项式叫做（ａ＋ｂ）ｎ的 二项展开式，展开式中一共有ｎ＋１项． （３）二项式系数：各项的系数 Ｃｋｎ（ｋ∈｛０，１，２， …，ｎ｝）叫做二项式系数． +"+1¥¦3,01 （ａ＋ｂ）ｎ展开式的第ｋ＋１项叫做二项展开式 的通项，记作Ｔｋ＋１＝Ｃ ｋ ｎａ ｎ－ｋｂｋ． （２０２３·上海）设（１－２ｘ）４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ ２ ＋ａ３ｘ ３＋ａ４ｘ ４，则ａ０＋ａ４＝　　　　． 根据题意及二项式定理可得：ａ０＋ａ４＝Ｃ ０ ４ ＋Ｃ４４·（－２） ４＝１７．故答案为１７． （２０２２·上海）二项式（３＋ｘ）ｎ的展开式 中，ｘ２项的系数是常数项的５倍，则 ｎ＝ 　　　　． 因为二项式（３＋ｘ）ｎ的展开式中，ｘ２项的 系数是常数项的 ５倍，即 Ｃ２ｎ×３ ｎ－２＝５Ｃ０ｎ×３ ｎ， 即 ｎ（ｎ－１） ２ ＝５×９，所以ｎ＝１０，故答案为１０． （２０２１·浙江）已知多项式（ｘ－１）３ ＋ （ｘ＋１）４＝ｘ４＋ａ１ｘ ３＋ａ２ｘ ２＋ａ３ｘ＋ａ４，则 ａ１＝　　　　；ａ２＋ａ３＋ａ４＝　　　　． ａ１即为展开式中 ｘ ３的系数，所以 ａ１＝ Ｃ０３（－１） ０＋Ｃ１４＝５；令 ｘ＝１，则有１＋ａ１＋ａ２＋ ａ３＋ａ４＝（１－１） ３＋（１＋１）４＝１６，所以 ａ２＋ａ３＋ ａ４＝１６－５－１＝１０．故答案为５；１０． /"+1¥¦3,01 求二项展开式的特定项的常用方法 （１）对于常数项，隐含条件是字母的指数为 ０（即０次项）． （２）对于有理项，一般是先写出通项公式， 求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这 类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除 性来求解． （３）对于二项展开式中的整式项，其通项公 式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与 求有理项一致． （２０２２·新高考Ⅰ）１－ｙ( )ｘ （ｘ＋ｙ）８的展 开式中ｘ２ｙ６的系数为 　　　　（用数字 作答）． （ｘ＋ｙ）８的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃ ｒ ８ｘ ８－ｒｙｒ，当 ｒ＝６时，Ｔ７＝Ｃ ６ ８ｘ ２ｙ６，当ｒ＝５时，Ｔ６＝Ｃ ５ ８ｘ ３ｙ５， 所以 １－ｙ( )ｘ（ｘ＋ｙ）８的展开式中 ｘ２ｙ６的系数为 Ｃ６８－Ｃ ５ ８＝ ８！ ６！·２！－ ８！ ５！·３！＝２８－５６＝－２８．故 答案为－２８． （２０２２·天津）槡ｘ＋ ３ ｘ( )２ ５ 的展开式中的常 数项为 　　　　． 因 为 槡ｘ＋ ３ ｘ( )２ ５ 的 展 开 式 的 通 项 是 Ｃｒ５槡ｘ ５－ｒ ３ ｘ( )２ ｒ ＝Ｃｒ５３ ｒｘ ５－５ｒ ２ ，要求展开式中的常数 项只要使得５－５ｒ＝０，即 ｒ＝１，所以常数项是 Ｃ１５×３＝１５，故答案为                                １５ ■ ８２　 ■  （２０２３·驻马店期末）若 ｘ７＋（ｘ－２）１０＝ａ０ ＋ａ１（ｘ－１）＋ａ２ （ｘ－１） ２ ＋… ＋ａ９ （ｘ－１）９＋ａ１０（ｘ－１） １０，则ａ５＝　　　　． 令ｘ－１＝ｔ，则ｘ＝ｔ＋１，所以已知条件可 化为：（ｔ＋１）７＋（ｔ－１）１０＝ａ０＋ａ１ｔ＋ａ２ｔ ２＋… ＋ ａ９ｔ ９＋ａ１０ｔ １０，所以 ａ５＝Ｃ ２ ７＋Ｃ ５ １０·（－１） ５＝２１－ ２５２＝－２３１，故答案为－２３１． （２０２３·海淀区模拟）已知（ｘ＋ａ）５的展开 式为ｐ５ｘ ５＋ｐ４ｘ ４＋ｐ３ｘ ３＋ｐ２ｘ ２＋ｐ１ｘ＋ｐ０，若 ｐ３－ｐ４＝１５，则ａ＝　　　　． （ｘ＋ａ）５ 展开式的通项公式为 Ｔｒ＋１ ＝ Ｃｒ５ｘ ５－ｒａｒ，ｒ＝０，１，２，３，４，５，令ｒ＝２，则Ｔ３ ＝Ｃ２５ｘ ３ａ２＝１０ａ２ｘ３，即 ｐ３＝１０ａ ２，令 ｒ＝１，则 Ｔ２ ＝Ｃ１５ｘ ４ａ＝５ａｘ４，即 ｐ４＝５ａ，由题意可得１０ａ ２－ ５ａ＝１５，即２ａ２－ａ－３＝０，解得 ａ＝３２或 ａ＝－ １，故答案为３２或－１． 4"§#B¨š,>? 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问 题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且 这种转化形式与除数有密切的关系． （２０２２秋·杨浦区校级期末）４５０除以１７的 余数为 　　　　． 因为４５０＝１６２５＝（１７－１）２５＝Ｃ０２５·１７ ２５＋ Ｃ１２５·１７ ２４·（－１）＋Ｃ２２５·１７ ２３（－１）２＋… ＋Ｃ２４２５· １７·（－１）２４＋Ｃ２５２５·（－１