专题7 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■■ ６７　 ■ ７HIJFK!LM7HNOFK!LM G+/)+*P*.G.P*&'(=(./)*=(G+/4(2'+/-G.P*&'(=(./)* !"-.€\#‚ƒ 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案 中有ｍ种不同的方法，在第２类方案中有ｎ种不 同的方法，那么完成这件事共有 Ｎ＝ｍ＋ｎ种不 同的方法． +"-„…\#‚ƒ 完成一件事需要两个步骤，做第 １步有 ｍ 种不同的方法，做第２步有ｎ种不同的方法，那 么完成这件事共有Ｎ＝ｍ×ｎ种不同的方法． （２０２３·怀仁市期中）解１道数学题，有三 种方法，有３个人只会用第一种方法，有 ４个人只会用第二种方法，有３个人只会 用第三种方法，从这１０个人中选１个人 能解这道题目，则不同的选法共有（　　） 　　 　 　 　 　　　 　　　Ａ．１０种 Ｂ．２１种 Ｃ．２４种 Ｄ．３６种 根据分类加法计数原理得：不同的选法共 有３＋４＋３＝１０（种）．故选Ａ． （２０２３·莱州市开学）已知 ｘ∈ ２，３，{ }７， ｙ∈ －３，－４，{ }８，则 ｘ．ｙ可表示不同 的值的个数为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．９ 因为ｘ从集合 ２，３，{ }７中任取一个值共 有３个不同的值，ｙ从集合 －３，－４，{ }８中任 取一个值共有３个不同的值，且ｘ，ｙ互不相同， 故ｘｙ可以表示为 ３×３＝９（个）不同的值．故 选Ｄ． （２０２３·哈尔滨期末）一个电路中含有（１） （２）两个零件，零件（１）含有 Ａ、Ｂ两个元 件，零件（２）含有Ｃ、Ｄ、Ｅ三个元件，每 个零件中有一个元件能正常工作则该零件 就能正常工作，则该电路能正常工作的线 路条数为 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．９ 由分步计数原理易得该电路能正常工作的 线路条数为２×３＝６条．故选Ｂ． （２０２３·顺德区月考）（ａ１＋ａ２）（ｂ１＋ｂ２＋ｂ３） （ｃ１＋ｃ２＋ｃ３＋ｃ４）展开后的项数为 （　　） Ａ．２４ Ｂ．１２ Ｃ．９ Ｄ．６ 由分步计数原理可得（ａ１＋ａ２）（ｂ１＋ｂ２＋ ｂ３）（ｃ１＋ｃ２＋ｃ３＋ｃ４）展开后的项数为２×３×４＝ ２４．故答案为Ａ． （２０２３·江门期中）由 Ａ村去 Ｂ村的道路 有４条，由Ｂ村去Ｃ村的道路有３条，从 Ａ村经Ｂ村去Ｃ村不同的走法有 （　　） Ａ．７种 Ｂ．９种 Ｃ．１１种 Ｄ．１２种 由分步乘法计数原理知有：４×３＝１２种 不同的走法．故选Ｄ． /"†F‡ˆB‡‰‚ƒ 每一封信有 ｎ个信箱可以投递，则 ｍ封信 件有ｎｍ次方种投递方法，我们将每一封信件作 为独立事件，而且每一封信件的投递选择方式相 同，这样形成的特殊乘法原理． （２０２３·山东月考）某大学四名学生利用暑 假到学校的实践基地进行实习，每人从 甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考 虑其他条件，则不同的选法有 （　　                                ） ■ ６８　 ■  Ａ．９种 Ｂ．１３种 Ｃ．６４种 Ｄ．８１种 由题知，四名学生利用暑假到学校的实践 基地进行实习，每名大学生都有３种选择，根据 分步乘法计数原理，共有３×３×３×３＝８１种选 法．故选Ｄ． （２０２２春·福州期末）６名同学参加３个课 外知识讲座，每名同学必须且只能随机选 择其中的一个，不同的选法种数是（　　） Ａ．２０ Ｂ．３６ Ｃ．６３ Ｄ．１２０ 每位同学都有３种选法，故６位同学共有 ３６种选法．故选Ｂ． 4"Š‹‚ƒ,~ea 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分 步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题 的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类 加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个 互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步 乘法计数原理． （２０２３·重庆月考）重庆市高考综合改革实 施方案中规定：高考考试科目按照“３＋１ ＋２”的模式设置，“３”为语文、数学、外 语３门必选科目；“１”为由考生在物理、 历史２门科目中选考１门作为首选科目； “２”为由考生在思想政治、地理、化学、 生物４门科目中选２门作为再选科目．现 有甲、乙２位同学选科，若他们的首选科 目相同，再选科目恰有一门相同的不同选 法的种数为 （　　） Ａ．２４ Ｂ．３６ Ｃ．４８ Ｄ．７２ 第一步：首选科目可从物理、历史两门科 目中选择，共有２种选法； 第二步：先确定再选科目中甲乙所选科目相同， 有４种选法，再确定不相同的科目，有３×２种， 共有４×３×２＝２４种，由分步乘法计数原理知， 共有２×２４＝４８种不同的选法．故选Ｃ． （２０２３·光明区期中）某市人民医院急诊科 有３名男医生，３名女医生，内科有５名 男医生，４名女医生，现从该医院急诊科 和内科各选派１名男医生和１名