专题20 直线的方程-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列2

■■ ２０１　 ■ ２０gD%“” 86+0+/,23^/,-563,- !"P2%õöN １．倾斜角的定义 （１）当直线ｌ与ｘ轴相交时，我们以ｘ轴为基 准，ｘ轴正向与直线ｌ向上的方向之间所成的 角α叫做直线ｌ的倾斜角． （２）当直线ｌ与ｘ轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为０°． ２．直线的倾斜角α的取值范围为０°≤α＜１８０°． ("P2%öÛ １．直线的斜率 把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母ｋ表示，即ｋ＝ ｔａｎα． ２．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 （范围） α＝０°０°＜α＜９０° α＝９０° ９０°＜α＜１８０° 斜率 （范围） ｋ＝０ ｋ＞０ 不存在 ｋ＜０ ３．过两点的直线的斜率公式 过两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的 直线的斜率公式为ｋ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ． -"L›P2 （ ëh³ ） T»eOP%{6 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α１＝α２≠９０° α１＝α２＝９０° 续表 类型 斜率存在 斜率不存在 对应关系 ｌ１∥ｌ２ｋ１＝ｋ２ ｌ１∥ｌ２两直线的斜率 都不存在 图示 图示 对应关系 ｌ１⊥ｌ２（两直线的斜率 都存在）ｋ１ｋ２＝－１ ｌ１的斜率不存在，ｌ２的 斜率为０ｌ１⊥ｌ２ （２０２２·和平区期中）经过点 Ｐ（１，槡３）、 Ｑ（４，０）两点的直线ｌ的倾斜角α为（　　） 　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．９０° Ｂ．１２０° Ｃ．１３５° Ｄ．１５０° 由于点 Ｐ（１，槡３）、Ｑ（４，０），所以： ｔａｎα＝－槡３３，由于α∈［０°，１８０°），故α＝１５０°． 故选Ｄ． （２０２２·南明区月考）若直线 ｌ的方程为 ｘｓｉｎθ－ｙ＋１＝０，则直线 ｌ的倾斜角的取 值范围是 （　　） Ａ．［０，π） Ｂ． ０，π[ ]４ Ｃ． π４， ３π[ ]４ Ｄ． ０，π[ ]４∪ ３π４，[ )π 因为直线ｌ的方程可化为ｙ＝ｘｓｉｎθ＋１，所 以斜率ｋ＝ｓｉｎθ∈［－１，１］，所以直线 ｌ的倾斜 角的取值范围是 ０，π[ ]４ ∪ ３π４，[ )π．故选Ｄ                                ． ■ ２０２　 ■  （２０２２·简阳市月考）关于直线的倾斜角和 斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相 等；②平行于 ｘ轴的直线的倾斜角为 ０° 或１８０°； ③若直线过点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１）与 Ｐ２（ｘ２，ｙ２）， 则该直线的斜率为 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ． 其中正确说法的个数为 （　　） Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０ ①两直线的倾斜角相等都为９０°时，它们 的斜率不存在，①错误； ②平行于ｘ轴的直线的倾斜角为０°，②错误； ③若直线过点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１）与 Ｐ２（ｘ２，ｙ２），当 ｘ１ ＝ｘ２时，直线的斜率不存在，③错误．故选Ｄ． （２０２２·蓟州区月考）经过点Ｐ（０，－１）作 直线 ｌ，若直线 ｌ与连接 Ａ（１， －２）， Ｂ（２，１）两点的线段总有公共点，则直线 ｌ倾斜角α与斜率ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．［４５°，１３５°］，［－１，１］ Ｂ．［０°，４５°］∪［１３５°，１８０°），［－１，１］ Ｃ．［０°，４５°］∪［１３５°，１８０°），（－∞， －１］∪［１，＋∞） Ｄ．［４５°，１３５°］，（－∞，－１］∪［１，＋∞） 根据题意，如图：直线ｌ经过点Ｐ（０，－１）， 与连接Ａ（１，－２），Ｂ（２，１）的线段总有公共点， 则直线ｌ的斜率必定存在，设直线 ｌ的斜率为 ｋ， 则直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ－１，即ｋｘ－ｙ－１＝０； 若直线ｌ与连接 Ａ（１， －２）、Ｂ（２，１）的线段总 有公共点，Ａ、Ｂ两点在直线 ｌ的两侧或直线 ｌ 上，则有（ｋ＋１）（２ｋ－２）≤０，解可得 －１≤ｋ≤ １；即直线 ｌ的斜率 ｋ的取值范围是［－１，１］； 设直线ｌ的倾斜角为θ，则有－１≤ｔａｎθ≤１，则其 倾斜角的范围［０°，４５°］∪［１３５°，１８０°），故 选Ｂ． （２０２２·临川区期中·多选）关于直线 ｌ： ｍｘ－ｙ－４＝０，下列说法正确的是 （　　） Ａ．直线ｌ在ｙ轴上的截距为４ Ｂ．当ｍ＝０时，直线ｌ的倾斜角为０ Ｃ．当ｍ≥０时，直线ｌ不经过第二象限 Ｄ．当ｍ＝１时，直线ｌ与两坐标轴围成的 三角形的面积是８ Ａ选项，ｘ＝０时，ｙ＝－４，所以直线ｌ在 ｙ轴上的截距为－４，Ａ错误； Ｂ选项，ｍ＝０时，直线方程为 ｙ＝－４，倾斜角 为０，Ｂ正确； Ｃ选项，当ｍ≥０时，直线斜率大于等于０，且 在ｙ轴上的截距为 －４，所以直线 ｌ不经过第二 象限，Ｃ正确； Ｄ选项，当ｍ＝１时，直线ｌ为ｙ＝ｘ－４，与两坐 标轴的